二阶倒立摆实验报告

研究生课程报告 二阶倒立摆的控制二阶倒立摆的控制指导老师：屈桢深问题描述小车质量0.8kg，摆杆1质量0.3kg,摆杆长度1.0m；摆杆2质量0.1kg,摆杆长度0.5m。精品文档放心下载要求：设计NN控制器，满足指标要求：0.2Hz正弦信号幅值裕度<10%,相角裕度<15度。同时系统具备抗噪声和干扰性，控制输入合理步骤：1阶倒立摆->2阶倒立摆。谢谢阅读一阶倒立摆建模小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平感谢阅读衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位精品文档放心下载移和角位移）。小车在轨道上可以自由滑动。.单级倒立摆系统数学模型N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分感谢阅读量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：MxFbxN由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：md2xlsindt22cosmlsinNmxml把这个等式代入式中，得到系统的第一个运动方程：Mmxbxmlcosml2sinF谢谢阅读为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进感谢阅读行分析，得到下面的方程：.Pmgmd2lcosdt2Pmgmlsinml2cos感谢阅读力矩平衡方程如下：Plsin NlcosI 方程中力矩的方向，coscos,sinsin，故等精品文档放心下载式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动精品文档放心下载方程：Iml2mglsinmlxcos假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可进行近似处理：谢谢阅读cos1,sind2,0dt用u代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：谢谢阅读2Mmxbxmlu对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：.22(s)s2MmX(s)s

mgl(s)mlX(s)s2bX(s)sml(s)s2U(s)精品文档放心下载推导时假设初始条件为0则摆杆角度和小车位移的传递函数感谢阅读为：(s)mls2X(s)(Iml2)s2mgl摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(s)mlA(s)mglIml2s2摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：(s)mls2qF(s)s4b(Iml2)s3(Mm)mgls2bmglsqqqq(Mm)(Iml2)m2l2以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：01x(Iml2)bx0I(Mm)Mml200mlb0I(Mm)Mml20Iml2I(Mm)Mml20umlI(Mm)Mml2

0m2gl2I(Mm)Mml20mgl(Mm)I(Mm)Mml2x

.0x0x10x1000x0y00100u以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：x0100x000001xx00010u'3g3004l04lxx1000x0y00100u'系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：.XAXBuyCXDu系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B,AB,...,An1B是线性无关的，或n×n维矩阵BABAn1B的秩为n。系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵CB CAB CA2B CAn1BD的秩等于输出向量y的维数。谢谢阅读应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度感谢阅读的夹角时的系统进行可控性分析即可。二阶倒立摆建模在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成谢谢阅读小车、匀质杆的系统，如图所示。图1直线两级倒立摆物理模型.下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。拉格朗日方程为：Lq,qTq,qVq,qdLLfdtqqiTT

T

T

TM m1

m2

m3TTm1 m1 m1TTm2 m2 m2T1Mx2M2Tdxlsin2dlsin21m1111m121dtdt1mx2mlxcos1ml22谢谢阅读2111121111T1J11ml1ml222222362m1p1111111TT'T''1mx2mlxcos2ml22m1m1m12111113111同样可以求出T'm2

.1d(x2lsinlsin21d(2lcoslcos)2m1122m112222dt22dt1m2lcoslcos21msinlsin2x22l221112222111222T1J11ml1ml''22222m2222232226222TT'T''1mx22x2lcoslcosm2m2m2221112221m224224llcos4l3l221122121221因此，可以得到系统的总动能为：TT T Tm1m21Mx21mx2mlxcos2ml22精品文档放心下载221111131111mx22x2lcoslcos221112221m224224llcos24l3l21122121221系统的总势能为：VVVVm1m2m3cosmglcosmg2lcosl11121122从而拉格朗日算子：.TV1Mx21mx2mlxcos2ml22精品文档放心下载221111131112x2lcoslcos1mx2感谢阅读2211122214l224l224llcosm3221122121221mglcosmg2lcoslcos11121122由于因为在广义坐标,上均无外力作用，有以下等式成立：12dLL0dt11dLL0dt22求解代数方程，得到以下两式对,12(3(2gmsin4gmsin4mgsin3mgcos()sin111213122126mlcos()sin()24mlsin()22mxcos211212122122114mxcos4mxcos3mxcos()cos))/21312122(2l(4m12m12m9mcos2()))1123212(4m(m3(mm))l2l(3gsin6l2sin()3xcos)292123122111222ml2lcos()(6ml2sin()321212222123(m2(mm))(gsinxcos)))/12311(16m(m3(mm))l2l24m2l2l2cos2())921231221212.表示成以下形式：f(x,,,x,,,x)1 1 1 2 1 2f(x,,,x,,,x)2 2 1 2 1 2取平衡位置时各变量的初值为零，A(x,,,x,,,x)(0,0,0,0,0,0,0)0感谢阅读1 2 1 2将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:精品文档放心下载Kf1011xA0Kf3(2gm4gm4gm)112312A011231Kf9mg1213A021231Kf1014xA0Kf01A01Kf0116A02Kf3(2mm4m)112317xA02(4m3m)l121.带入式，得到线性化之后的公式KKKx1 121 132 17将式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令Kf2021xA0Kf2g(m2m)2161222A04ml(m3m)l1922122Kf4g(m3m)21223A03(4ml16(m3m)l)2922122Kf2024xA0Kf2025A01Kf2026A02f2(m2m)4(m3m)K2712312x2A04ml16(m3m)l922122带入（22）式，得到KKKx2 221 232 27即：.KKKx1 121 132 17KKKx2 221 232 27现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输感谢阅读入，因此还需加上一个方程ux取状态变量如下：xxx121x32x4xx51x62由（33），（41），（42）式得到状态空间方程如下：感谢阅读x000100x01001x0010x022x000001x033ux4000000x41x0KK000xK51213517x0KK000xK62223627其中直线两级倒立摆系统参数为：M 小车质量 2.32kg.m=0.3kg；=0.2kg；为摆杆1与垂直向上方向的夹角m1212为摆杆2与垂直向上方向的夹角；l=1m；l=0.5m；F为作用12在系统上的外力由以上方程，将以下参数代入即可。M0.8m0.3 1m0.2 29.8gl11l20.5神经网络建模本文采用的神经网络采用4-5-3结构的三层前馈网。输入变精品文档放心下载量为xxxx123xet1etx(0-1)2detxdt3etxtytinout网络隐含层的局部诱导域和输出分别为.M1nO0nv1njjii(0-2)O0i01j1,2,3,...,Qnvnij其中，w为隐含神经元的突触权值，w0表示神经元的偏置，精品文档放心下载为隐含神经元的节点数，隐含神经元的激活函数取双曲正切函精品文档放心下载数tanhexexxxexex(0-3)网络输出层的诱导局部域和输出分别为v2nQw2nO1n(0-4)kkjjj0O2nfv2nk1,2,3(0-5)kkkO2np1(0-6)kO2ni2kdO2n3考虑到输出参数不能为负值，所以激活函数采用非负函数x1ex(0-7)f1tanhxexex2控制率为.Mtketketkdet(0-8)cpiddt采用BP学习算法，对网络的突触权值进行迭代修正，并附加感谢阅读一个使搜索快速收敛的全局极小的动量项。定义系统的代价函数谢谢阅读为。1e2(0-9)t2tw2ttdw2ttkj(0-10)kjw2dtkjdw2t2tO1nkjkjdt其中，yita是学习率，alpha是动量因子，根据微分链式规则，感谢阅读局部梯度可计算如下2tktv2t(0-11)ktytutO2tytoututO2tv2ktoutkk由于输出对控制量的偏导未知，所以用符号函数近似表示，感谢阅读由此带来的计算不精确的影响尽量由调整学习率来补偿。由控制精品文档放心下载方程不难得到.MtKX'ketketdtkdetcpidpiddtMttO2cxktk将所有公式整合，不难得到神经元k的局部梯度为2yt2outkMkktc

(0-12)(0-13)(0-14)由此可得，网络输出层神经元的突触权值调整的修正公式为精品文档放心下载w2't2tO1tw2''dt感谢阅读kj k j kj同理，可得隐含层神经元的突触权