第六节极限存在准则两个重要

第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结 思考题12一、极限存在准则【夹逼准则】【准则Ⅰ】如果数列xn

,yn

及yn

£

xn

£

znzn

满足下列条件:(n

=

1,2,3)(2)

lim

yn

=

a,

lim

zn

=

a,nfi

¥

nfi

¥那末数列

xn

的极限存在,

且lim

xn

=

a.nfi

¥【证】

yn

fi

a,

zn

fi

a,"e

>0,

$N1

>0,

N

2

>0,

使得取N

=max{N1

,N2

},当n

>

N时,

恒有即a

-e

<yn

<a

+e,当n

>N1时恒有yn

-a

<e,当n

>N2时恒有zn

-a

<e,a

-

e<

zn

<

a

+

e,上两式同时成立,a

-

e

<

yn

£

xn

£

zn

<

a

+

e,即xn

-a

<e

成立,3\

lim

xn

=

a.nfi

¥上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限【准则Ⅰ′】

如果当x

˛

U

(

x0

,d

)

(或

x

>

M

)时,有(1)

g(

x)

£

f

(

x)

£

h(

x),4(2) lim

g(

x)

=

A, lim

h(

x)

=

A,xfi

x0(

xfi

¥

)xfi

x0(

xfi

¥

)(

x

fi

¥

)那末

lim

f

(

x)存在,

且等于A.x

fi

x0准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为夹逼准则.【注意】⑴利用夹逼准则Ⅰ关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.⑵利用夹逼准则Ⅰ′关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.【补例1】求lim(nfi

¥).1n2

+

21n2

+

11n2

+

n+

++【解】,11n2

+

n<n2

+

n

n2

+

1+

+<nnn又limnfi

¥1n2

+

nn2

+

1=

limnfi

¥1=

1,n2

+

1111

+n21

+

n=

1,1=

limnfi

¥limnfi

¥n由夹逼准则得)

=

1.51n2

+

21n2

+

1lim(nfi

¥n2

+

n+

++抓大头xx1x2x3xn

xn+12.【单调有界准则】广义单调数列如果数列xn满足条件x1

£

x2

£

xn

£

xn+1

£

,单调增加x1

‡x2

‡xn

‡xn+1

‡,单调减少【准则Ⅱ】

单调有界数列必有极限.【几何解释】A

M67相应地，函数极限也有类似的准则设函数f

(x)在点x0的某个左邻域内单调且有界则f

(x)在x

的左极限f

(x-)必定存在.0

0准则Ⅱ及准则Ⅱ统称为单调有界准则0x-为例，叙述如下）【准则Ⅱ】（以x

fi【补例2】证明数列xn

=式)的极限存在,并求此极限.【证】显然xn+1

>xn

,\{xn

}是单调递增的;又

x1

=

3

<

3,\{xn

}是有界的;假定

xk

<

3,

xk

+1

=3

+

xk<3

+

3

<

3,\lim

xn

=A

存在.nfi

¥

xn+1

=

3

+

xn,n=

3

+

x

注,

意到x2n+1n+1

nnfi

¥

nfi

¥limx

2

=

lim(3

+

x

),

\A2

=

3

+

A,21

-

13,

A

=21

+

13解得A

=(舍去)2nfi

¥1

+

13\

lim

xn

=

.xn+1

=3

+

3

+

+

3

(n重根

递3

+xn

推公式8n+1=

lim

xnfi

¥lim

xnfi

¥n

？9【说明】该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论如

xn

=

n显有

xn+1

=

xn

+

1

①记lim

xn

=lim

xn+1

=Anfi

¥

nfi

¥①式两端取极限后得A

=

A

+

1从而得0

=1矛盾见课后习题p56

4、（3）【练习】教材课后习题P56第4

题提示n(1)

lim 1

+

1

=

1nfi

¥［提示］1

£1

+

1

£

1

+

1n

n)

=

11n2

+

2p11n2

+

npn2

+

p(2) lim

n(nfi

¥［提示］+

++n2

+

np+)

£n2

+

np

n2

+

pn2

+

2p£

n(+

+111n

nn

n(3)

数列

2,10n2

+

p2

+2, 2

+2

+2,

极限存在［提示］单调有界准则1x(5) lim

x[ ]

=

1xfi

0+(4) lim

n

1

+

x

=

1xfi

0［提示］

1

-

x

£

n

1

-

x

£

n

1

+

x

£

n

1

+

x

£

1

+

x(

x

>

0),

x

x

x［提示］

1

-

1

<

1

£

1由夹逼定理得]

=

1.1xlim

x[xfi

0+【注】记住[x]的运算性质：

x

-

1

<

[

x]

£

x

x

11当

x

>

0

时

1

-

x

<

x

1

£

1AC二、两个重要极限(1)xlim

sin

x

=

1x

fi

02设单位圆O,

圆心角—

AOB

=

x,

(0

<

x

<

p

)于是有sin

x

=

BD,

x

=

弧

AB, tan

x

=

AC

,xoBD作单位圆的切线，得DACO

.扇形OAB的圆心角为x

,DOAB的高为BD

,12\

sin

x

<

x

<

tan

x,x即cos

x

<sin

x

<1,2上式对于-p

<x

<0也成立.当0

<x

<p

时,20

<

cos

x

-

1

=

1

-

cos

x22

x

xx

2=

2sin

2

<

2(

2

)

=

2

,=

0,2

limx

fi

0x

2\

lim(1

-

cos

x)

=

0,x

fi

0\

lim

cos

x

=

1,x

fi

0又

lim1

=1,xfi

0x13\

lim

sin

x

=

1.x

fi

014【几何解释】

y

=

sin

x

与

y

=

x图象在x

=0

处相切【注】①该极限推广为更一般地情形sinfi

0lim

=1

或lim

=

1sinfi

0【理论根据】复合函数求极限法则②该极限的特点0Ⅰ.极限呈

0

未型定式极限常用不等式：{sin

x

£

x x

˛

R2

2x

˛

(-p

,p

)x

£

tgxyox教材【例2】x2求lim

1

-cos

x

.xfi

02x22sin2

x【解】原式=limxfi

02(

)xsin2

x2

x

fi

0=

1

lim2

)2x2sin

x2

x

fi

02

=

1

lim(2=

1

122=

1

.2复合函数求极限法则15若符合以上两个特点，则极限为1；若Ⅰ成立、而Ⅱ不成立，通常是“凑”不含正弦号的那一方的变量，使Ⅱ成立.Ⅱ.正弦号后面的变量与分数线对面的变量，形式上一致.教材【例3】求lim

arcsin

x

.xfi

0x【解】

换元法令

t

=

arcsin

x当x

fi

0

时，t

fi

0则x

=sin

t于是由复合函数的极限运算法则可得xfi

0=

lim

=

116lim

arcsin

x

tx

t

fi

0

sin

t(2)xxfi

¥1lim(1

+

)x

=

e【定义】nnfi

¥lim(1

+

1

)n

=

enn设

x

=

(1

+

1

)n=

1

+

n=

1

+

1

+

1

(1

-

1

)

+

+

1

(1

-

1

)(1

-

2)(1

-

n

-

1).2!

n

n!

n

n

nn2

nn1!

n

2!

n!1+

n(n

-

1)

1

+

+

n(n

-

1)(n

-

n

+

1)

11¥

型1lim(1

+

x)

x

=

exfi

017或).n

+1211

2(1

-+

1

(1

-(n

+1)!

n

+1

n

+1n

+1)(1

-n!

n

+1n

+1)(1

-)(1

-

)(1

-

n

-1)1类似地,

1

1xn+1

=

1

+1

+

2!

(1

-

n

+1)

++n显然xn+1

>xn

,\{xn

}是单调递增的;2!

n!nx

<

1

+

1

+

1

+

+

112n-11<

1

+

1

+

2

+

+12n-1=

3

-<

3,n\{x

}是有界的;n\

lim

xnfi

¥n18nfi

¥存在.通常记lim(1

+1

)n

=e(e

=

2.71828)当

x‡

1

时,

有[

x]

£

x

£

[

x]

+

1,)[

x

]

£

(1

+

1

)

x

£

(1

+

1

)[

x

]+1

,x

[

x][

x]

+

11(1

+xfi

+¥

xfi

+¥xfi

+¥而

lim

(1

+

1

)[

x

]+1

=

lim

(1

+

1

)[

x

]

lim

(1

+

1

)

=

e,[

x] [

x] [

x]11

1)-1[

x]

+

1 [

x]

+

1lim

(1

+xfi

+¥)[

x

]+1=

lim

(1

+[

x]

+

1)[

x

]lim

(1

+xfi

+¥xfi

+¥=

e,\

lim

(1

+

1

)

x

=

e.xx

fi

+¥19令t

=-x,t

fi

+¥=

lim

(1

-

1)-t

=

lim

(1

+xx

fi

-¥\

lim

(1

+

1

)

x)tt

fi

+¥t1t

-

11t

-

1)

=

e.t

-

1)t

-1

(1

+1=

lim

(1

+t

fi

+¥xx

fi

¥\

lim(1

+

1

)

x

=

e,1x令t

==

lim(1

+t

fi

¥1t)t

=

e.1lim(1

+

x)

xx

fi

01lim(1

+

x)

x

=

ex

fi

020【注】①该极限推广为更一般地情形1fi

¥

fi

0lim

(1

+

)

=

e

或

lim(1

+1)

=

e【理论根据】复合函数求极限法则②该极限的特点极限呈

1型¥

未定式极限括号中“1”后的项连同符号与指数中变量的形式连同符号，互为倒数.在Ⅰ成立的前提下，若Ⅱ不成立，通常是“凑”指数中变量的形式，使之与括号中“1”后面的

项（连同符号）互为倒数.21xxfi

¥【例4】

求

lim(1

-

1

)x

.【解】原式=lim[(1

+xfi

¥x

fi

¥(1

+-

x1

)-

x11

)-

x

]-1=

lim-

x1=

e

.【例5】2

+

xxfi

¥求lim