第05讲-应力强度因子的计算课件

1ShanghaiUniversity断裂力学FractureMechanics断裂力学第四讲郭战胜davidzsguo@办公地点：延长校区力学所317室平时答疑：每周一：5-6节晚修答疑:每周一：18：00-20：30地点：HE108或HE104b1ShanghaiUniversity断裂力学断裂力学第四2应力强度因子计算

2应力强度因子计算预备知识:映射与广泛柯西积分公式.由已知解析函数经实轴或圆弧映射（反射）而得新的解析函数实轴映射解析

，求也解析定义

设定义

用，的柯西黎曼条件，易证也解析柯西黎曼条件3预备知识:映射与广泛柯西积分公式.由已知解析函数经实轴或圆弧2.单位圆上的映射若，可导出：，解析解析42.单位圆上的映射若，，解析解析4内内映射

2.外

内映射

例52.外内映射例53.外外映射4.内外映射

63.外外映射4.内外映射在内不为零，上，本身可以是奇异的，它对应平面上的角点

待定(1950,Darwin)5.7在内不为零，上，6.7.86.7.8二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式—F(t)F(z)——闭曲线，方向逆时针——内有限域，——无限域内域柯西公式

在内解析，在上连续9二.柯西积分公式与广泛柯西积分公式—F(t)F(z)——闭2.外域柯西公式在内解析，(包括)3.含极点的广泛内域柯西公式在内处为，有n阶极点，除此以外，在内解析则时，则102.外域柯西公式在内解析，(包括4.外域广泛柯西积分公式在内解析，处，，则在处展成级数有则

114.外域广泛柯西积分公式在内解析，12Muskhelisvili穆什海里什维利《数学弹性力学的几个基本问题》Nikoloz(Niko)Muskhelishvili(Georgian格鲁吉亚:February161891-July16,1976)wasanotableGeorgianandSovietmathematician,oneofthefoundersandfirstPresident(1941-1972)oftheGeorgianSSRAcademyofSciences(nowGeorgianAcademyofSciences)(then),DoctorofPhysicalandMathematicalSciences(1934),Professor(1922).HeisoftenreferredbytheRussianversionofhisname,NikolaiIvanovichMuskhelisvili.是搞数学弹性理论的人必读的书。中文版是依据1953年出版的俄文第四版翻译的。1977年，Springer出版社根据当时最新的俄文修订版，推出了英文本：Muskhelishvili:SomeProblemsoftheMathematicalTheoryofElasticity。中文本自五十年代出版后，再没有修订过12Muskhelisvili穆什海里什维利《数学弹性力学的13In1914hegraduatedfromtheSt.PetersburgUniversity(Russia).In1917-1920MuskhelishviliwasAssistantProfessorofthisUniversity,in1920-1922-AssociateProfessoroftheTbilisiStateUniversity(TSU),in1922-1976-aProfessorofTSU,in1941-1972-firstPresidentoftheGeorgianSSRAcademyofSciences,in1972-1976-HonoraryPresidentofGAS.In1939MuskhelishviliwaselectedasAcademician(FullMember)oftheAcademyofSciencesoftheUSSR(nowtheRussianAcademyofScience.Muskhelishviliwasauthorofoutstandingscientificworksinthefieldsofsingularintegralequations,mathematicalphysics,theoryofelasticity,etc.Muskhelisvili13In1914hegraduatedfromth14由应力强度因子表达的脆性断裂准则为进行断裂安全分析时1）需要计算构件的值——由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式决定；2）测定材料的。用实验测定材料的时，必须首先确定试件的标定式。因此，计算各种构件的应力强度因子，是线弹性断裂力学的一项重要任务。14由应力强度因子表达的脆性断裂准则为进行断裂安全分析时115计算值的几种方法1.解析法:复变函数法、积分变换；2.数值解法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.解析法只能计算简单问题，大多数问题需要采用数值解法。工程中——广泛采用有限元法，而且随着计算机技术的发展，能够计算越来越复杂的问题。其它求应力强度因子的方法，及工程估算和实验方法可查阅有关文献。15计算值的几种方法1.解析法:复变函数法、积分变换对于一般的二维裂纹问题，可以用Kolosov－Muakhelishvili的方法程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。对于某些特殊情况，可以采用Westergaard函数,即由需要求解两个复变解析函数和简化为确定一个复变函数，从而使问题简化。当然，Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解。解析法16对于一般的二维裂纹问题，可以用Kolosov－Muakhel记：，则Kolosov－Muakhelishvili应力函数法17记：，则Kolosov－Muakhelishvili应力函数应力函数是实函数。积分之：待定函数两两共轭。Kolosov－Muakhelishvili应力函数法18应力函数是实函数。积分之：待定函数两两共轭。Ko这就是著名的古萨应力函数，其中，，为解析函数。所以求解双调和函数的问题，归结为求解解析函数，的问题，称之为复应力函数。Kolosov－Muakhelishvili应力函数法19这就是著名的古萨应力函数，其中，，应力的复变函数表示取应力组合：注意到，作第二个应力组合：Kolosov－Muakhelishvili应力函数法20应力的复变函数表示取应力组合：注意到位移的复变函数表示Kolosov－Muakhelishvili应力函数法其他详见教材58-60页21位移的复变函数表示Kolosov－MuakhelishvilI-II复合型裂纹Kolosov－Muakhelishvili应力函数法要确定应力强度因子，就需要确定一个解析函数。对于复杂结构或载荷条件，通常使用复变函数的保角映射原理。将平面内的几何图形，通过映射到平面中，简单的几何图形，从而使求解过程大为简化。则根据应力场计算公式，可以求得K的表达式22I-II复合型裂纹Kolosov－Muakhelishvil范例1教材58-6023例：无限大板内长2a的穿透裂纹，集中力作用在右上表面，求应力强度因子解：取映射函数……范例1教材58-6023例：无限大板内长2a的穿透裂纹，集中24解析法求解I-II复合型裂纹的应力强度因子复变数：取复变解析函数：取应力函数或满足双调和方程24范例124解析法求解I-II复合型裂纹的应力强度因子复变数：取复25分析第一应力不变量对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：Ⅱ型：2525分析第一应力不变量对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：Ⅱ型：26Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量取复数形式的应力强度因子又2626Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量取复数形式的应力强27若采用选择满足具体问题的应力边界条件复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式

利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题.2727若采用选择满足具体问题的应力边界条件复28三种基本裂纹应力强度因子的计算一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算计算的基本公式1.在“无限大”平板中具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,距离处各作用一对集中力P

选取复变解析函数：28三种基本裂纹应力强度因子的计算一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强29边界条件：

除去处裂纹自由表面上如切出坐标系内的第一象限的薄平板，在轴所在截面上内力总和为P

以新坐标表示29边界条件：除去处裂纹自由如切302.在无限大平板中,具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上,在距离的范围内受均布载荷q作用利用叠加原理集中力令302.在无限大平板中,具有长度为的穿透板厚的裂纹表31当整个表面受均布载荷时3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在轴上有一系列长度为,间距为的裂纹单个裂纹时31当整个表面受均布载荷时3.受二向均布拉力作用的无限大平32边界条件是周期的:32边界条件是周期的:33采用新坐标:当时，33采用新坐标:当时，34取--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对的影响

若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（）可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.34取--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对若裂35二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.35二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算1.Ⅱ型363.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):4.Ⅲ型周期性裂纹:363.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):4.积分变换法37积分变换法37取应力函数满足双调和方程：富里埃变换的（n）阶导数：二维双调和方程的FourierTransforms38取应力函数二维双调和方程的FourierTransform将双调和方程（7-2）作傅立叶变换其中方程（7-4）的一般解二维双调和方程的Fourier变换39将双调和方程（7-2）作傅立叶变换二维双调和方程的Fouri应用反演公式：及应力变换：二维双调和方程的Fourier变换40应用反演公式：二维双调和方程的Fourier变换40得：由反演公式，得：二维双调和方程的FourierTransforms41得：二维双调和方程的FourierTransforms41现讨论平面应变情形下位移的解作反演得：若求得，可得，。二维双调和方程的Fourier变换42现讨论平面应变情形下位移的解二维双调和方程的Fourier半无限弹性平面的位移解现讨论受分布压力的半无限弹性平面问题边界条件为：43半无限弹性平面的位移解现讨论受分布压力的半无限双调和方程的应力函数的傅立叶变换的一般解为：由边界条件（2）可知：，所以由边界条件（1），确定A、B：半无限弹性平面的位移解44双调和方程的应力函数的傅立叶变换的一般解为：半无限弹性平面的半无限弹性平面的位移解代入（7-6）式应力函数的傅立叶变换得到应力解：45半无限弹性平面的位移解代入（7-6）式应力函数的傅立叶变换4半无限弹性平面的位移解对于平面应变问题将应力函数代入（7-10）、（7-11）得到位移表达式46半无限弹性平面的位移解对于平面应变问题46裂纹问题的对偶积分方程现讨论裂纹边界受分布压力问题边界条件为：47裂纹问题的对偶积分方程现讨论裂纹边界受分布压力裂纹问题的对偶积分方程如果压力分布对轴是对称的，则由边界条件得：由边界条件得：引入代换：式中是贝塞尔函数48裂纹问题的对偶积分方程如果压力分布对轴是裂纹问题的对偶积分方程利用上述代换，边界条件(7-22)、(7-23)写为：上式为对偶积分方程，由这一对方程决定函数，于是便可求得。在求出后，便可以得到应力场和位移场的全部解。49裂纹问题的对偶积分方程49裂纹问题的对偶积分方程对偶积分方程

(7-24)的解为：作用在裂纹表面的压力由下列级数给出：则于是有50裂纹问题的对偶积分方程对偶积分方程(7-24)的解为：50裂纹问题的对偶积分方程若当，且时有，则可得位移：在均布压力作用下，裂纹会扩大张开成椭圆形状。利用这种方法可解许多种裂纹尖端的应力位移场。51裂纹问题的对偶积分方程若当，且三维裂纹问题的求解52三维裂纹问题的求解52受均匀拉伸的椭圆盘状裂纹，Green-Sneddon解边界条件：椭圆盘状裂纹53受均匀拉伸的椭圆盘状裂纹，Green-Sneddon解边界条寻找调和函数

解实际上在流体力学中已经早就找到了，即在无穷远处处于静止的不可压缩的无限流体中，椭圆盘状的物体以匀速垂直于平面运动，问题与上述裂纹问题在数学上相似，而它的解是已知的。54寻找调和函数解实际上在流体力学中已经早就找到了，即在无穷远根据流体力学比拟得到本问题的解为待定系数边界条件，定出常数应力场其中其中55根据流体力学比拟得到本问题的解为待定系数边界条件，定出常数应应力强度因子还原为第二类完全椭圆积分，圆盘状裂纹56应力强度因子还原为第二类完全椭圆积分，圆盘状裂纹5657权函数法计算应力强度因子

57权函数法计算应力强度因子权函数方法·简述利用前面的复变函数方法，对于每一种载荷情况，需要分别利用相应的边界条件确定对应的Kolosov－Muakhelishvili函数和或Westergaard函数，而这常常是困难的。而且，对于有限边界的裂纹问题以及含体积力的问题，上述方法大都难以实现。事实上，如果我们知道了一种载荷情况下的解（包括应力、应变场、位移和SIF），则可以采用权函数方法求解相同构形但载荷情况不同的应力强度因子和位移场。权函数方法最早是由Bueckner（1970）提出的，后来Rice等人发展了这种方法（即证明了权函数的唯一性），吴学仁和Carlsson（1991）用此方法得到了大量的结果。Wu,X.R.,Carlsson,A.J.,Weightfunctionsandstressintensityfactorsolutions,PergamonPress,Oxford1991.58权函数方法·简述利用前面的复变函数方法，对于每一种载荷情况，HANSF.BUECKNERH.F.BUECKNER,Anovelprincipleforthecomputationofstressintensityfactors.Z.angew.Math.Mech.50,.529-546(1970)H.F.BUECKNER,WeightFunctionsfortheNotchedBarZAMM-JournalofAppliedMathematicsandMechanics/ZeitschriftfürAngewandteMathematikundMechanikVolume51,Issue2,pages97–109,1971H.F.Bueckner.Weightfunctionsandfundamentalfieldsforthepennyshapedandthehalf-planecrackinthree-space.InternationalJournalofSolidsandStructures,23(1):57–93,1987.HANSF.BUECKNER.GeneralElectricCompany.Schenectady,NewYork.

59HANSF.BUECKNERH.F.BUECKNERSOMEREMARKSONELASTICCRACK-TIPSTRESSFIELDSInt.J.SolidsSlruclIIres.1972.Vol.8,pp.751to758.60SOMEREMARKSONELASTICCRACK-权函数法应力强度因子与裂纹几何和载荷配置有关。权函数法给出了解偶研究这两类影响的途径。针对任一裂纹几何，均可求出适用于该几何的权函数，该裂纹几何在任意载荷下的应力强度因子（乃至位移场）都可由该载荷经权函数加权积分获得。Betti’stheoremMode－I61权函数法应力强度因子与裂纹几何和载荷配置有关。权函数法给出了展开

权函数法62展开

权函数法62已知量，，未知量，

，称为权函数法权函数法63已知量，，未知量，，称为权函数法权函数法63例：权函数法64例：权函数法64假设知道第1组载荷下的解，即，，均为已知，则有：求出了和，则可以求出任意载荷组合下的应力强度因子。

对于一个特定的裂纹构形，只要知道该构形的任意一个解和（或，），则可以得到一个权函数：从而可以计算其它任何面力载荷和下的应力强度因子：

和分别是面力和体力对应力的权函数权函数法65假设知道第1组载荷下的解，即，，均权函数方法·例子Rice（1972）已证明，由不同的基本解（和）得出的权函数是相同的，即权函数是唯一的（对于所求的同一组载荷情况）。考虑一含中心穿透裂纹的无限大板。基本解取为在无穷远处承受均匀拉应力（垂直于裂纹面的）作用的解，SIF和裂纹张开位移分别为：得权函数为：如果裂纹面上承受任意的分布载荷作用，裂纹右端应力强度因子为：在裂纹上下表面的范围内承受均布压力作用的SIF为：66权函数方法·例子Rice（1972）已证明，由不同的基本解（在裂纹中心作用一对集中力时，SIF为：只要知道了应力强度因子，则根据权函数唯一的条件，可以得到该载荷下的位移场。权函数方法·例子67在裂纹中心作用一对集中力时，SIF为：权函数方法·例应力集中系数法计算应力强度因子应力集中系数法计算应力强度因子StressConcentrationPeterson'sStressConcentrationFactors3rd

StressConcentrationPeterson'sStressConcentrationStressConcentrationPhotoelasticfringephotographFiniteelementmethodspecimenStressConcentrationPhotoelasticfringephotographForstepped,circularshaftsintorsionStressConcentrationForstepped,circularshaftsiRectangularBarStressConcentrationRectangularBarStressConcentRectangularBarStressConcentrationRectangularBarStressConcentRectangularBarStressConcentrationRectangularBarStressConcentRectangularBarStressConcentrationRectangularBarStressConcentRectangularBarStressConcentrationRectangularBarStressConcentRoundshaftStressConcentrationRoundshaftStressConcentratioRoundshaftStressConcentrationRoundshaftStressConcentratiRoundshaftStressConcentrationRoundshaftStressConcentratiRoundshaftStressConcentrationRoundshaftStressConcentratiRoundshaftStressConcentrationRoundshaftStressConcentratiGroovedroundbarStressConcentrationGroovedroundbarStressConceGroovedroundbarStressConcentrationGroovedroundbarStressConceGroovedroundbarStressConcentrationGroovedroundbarStressConcePlateStressConcentrationPlateStressConcentrationTubeStressConcentrationTubeStressConcentration88应力集中系数法Consideraplatehavingathrough-the-thicknessnotchandsubjectedtoauniformtensilestressawayfromthenotch.Wecanimaginetheappliedexternalforcebeingtransmittedfromoneendoftheplatetotheotherbymeansoflinesofforce(similartothewell-knownmagneticlinesofforce).Attheendsoftheplate,whichisbeinguniformlystretched,thespacingbetweenthelinesisuniform.Thelinesofforceinthecentralregionoftheplateareseverelydistortedbythepresenceofthenotch(i.e.,thestressfieldisperturbed).Thelinesofforce,actingaselasticstrings,tendtominimizetheirlengthsandthusgrouptogetherneartheendsoftheelliptichole.Thisgroupingtogetheroflinescausesadecreaseinthelinespacinglocallyand,consequently,anincreaseinthelocalstress(astressconcentration),therebeingmorelinesofforceinthesamearea.88应力集中系数法Consideraplatehavi89应力集中系数法Wenotethatasρbecomesverysmall,becomesverylarge,andinthelimit,asρ→0,

→∞.WedefinethetermasthestressconcentrationfactorKt

(i.e.,).Kt

simplydescribesthegeometriceffectofthecrackonthelocalstress(i.e.,atthetipofthecrack).NotethatKtdependsmoreontheformofthecavitythanonitssize.AnumberoftextsandhandbooksgiveacompilationofstressconcentrationfactorsKtforcomponentscontainingcracksornotchesofvariousconfigurations.useofsquarewindowsintheCOMETcommercialjetaircraft.Fatiguecracks,initiatedatthecornersofthewindows,causedcatastrophicfailuresofseveraloftheseaircraft.89应力集中系数法Wenotethatasρbeco90应力集中系数法Themaximumstressoccurs