福建省龙岩市第三中学2021年高二数学理月考试卷含解析

福建省龙岩市第三中学2021年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣参考答案：D【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算k1k2的值．【解答】解：过点M（﹣2，0）的直线m的方程为

y﹣0=k1（x+2），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k12﹣2=0，∴x1+x2=，∴P的横坐标为，P的纵坐标为k1（x1+2）=，即点P（，），直线OP的斜率k2=，∴k1k2=﹣．故选D．2.极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B3.为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中(

)A．3000 B．6000 C．7000 D．8000参考答案：C【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【解答】解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，则底部周长大于100cm的段的频率为1﹣0.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．故选C．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．4.直线和互相垂直，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为（

）.A.

B． C． D．参考答案：B6.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】求得正方形的面积，则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH，根据几何概率概率公式可知：P（M）=，即可求得满足|PH|＜的概率．【解答】解：（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．设“满足|PH|＞的正方形内部的点P的集合”为事件M，则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2××1×1+×××=1+，∴P（M）==+．故满足|PH|＜的概率为+．故选B．7.已知抛物线的准线与双曲线相交于A,B两点，双曲线的一条渐近线方程是，点F是抛物线的焦点，且△是直角三角形，则双曲线的标准方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10，==，求出b=6，a=8，从而得到答案．【解答】解：由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10，==，∴b=6，∴a=8，故双曲线的方程为=1，故选

A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=6，a=8，是解题的关键．9.若实数x，y满足，则的最大值为（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：B【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为4．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

10.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中

（

）

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．结论正确参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：=

.参考答案：略12.如图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a88=．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】察这个“直角三角形数阵”，能够发现ai1=a11+（i﹣1）×=，再由从第三行起，每一行的数成等比数列，可求出aij（i≥j），即可得出结论．【解答】解：ai1=a11+（i﹣1）×=，aij=ai1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1．∴a88=8×（）9=故答案为：．13.某监理公司有男工程师7名，女工程师3名，现要选2名男工程师和1名女工程师去3个不同的工地去监督施工情况，不同的选派方案有

种．参考答案：378【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在7名男工程师中选2名，3名女工程师中选1人，②、将选出的3人全排列，安排到3个不同的工地，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、在7名男工程师中选2名，3名女工程师中选1人，有C72C31=63种选法，②、将选出的3人全排列，安排到3个不同的工地，有A33=6种情况，则不同的选派方案有63×6=378种；故答案为：378．14.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程是________参考答案：15.已知向量，，若，则

．参考答案：16.过抛物线的焦点，且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则的值为

参考答案：4略17.已知函数f（x）=x3+bx（x∈R）在上是减函数，则b的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣3]【考点】函数单调性的性质． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】求导数f′（x）=3x2+b，根据题意便有f′（x）≤0在上恒成立，从而得到b≤﹣3x2在上恒成立，容易求出函数y=﹣3x2在上的最小值，从而便可得出b的取值范围． 【解答】解：f′（x）=3x2+b； f（x）在上是减函数； ∴f′（x）≤0在上恒成立； ∴3x2+b≤0，即b≤﹣3x2在上恒成立； y=﹣3x2在上的最小值为﹣3； ∴b≤﹣3； ∴b的取值范围为（﹣∞，﹣3]． 故答案为：（﹣∞，﹣3]． 【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及二次函数在闭区间上的最值的求法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，，且分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使，得到如下的立体图形.（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案：（1）证明：由题可得，则，

又，且，所以平面.因为平面，所以平面平面；（2）解：过点作交于点，连结，则平面，，又，所以平面，易证，则，得，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则.故，设是平面的法向量，则，令，得，设是平面的法向量，则，令，则，因为，所以二面角的余弦值为.

19.在各项为正的数列中,数列的前项和满足,(1)求；(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.参考答案：略20.高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：123420305060

（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若用表示统计数据的“强化均值”（结果四舍五入精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？附：回归直线参考公式为：，样本数据的标准差为：s=．参考答案：（1）由所给数据计算得：，＝，＝－=5所求回归直线方程是（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9平均数是7，“强化均值”的标准差是这个班的强化训练有效。

21.（本小题共12分）在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，在80名男性乘客中，其中有10人晕机，70人不晕机；而在30名女性乘客中有10人晕机，其它20人不晕机.（1）请根据题设数据完成如下列联表；（2）判断晕机与性别是否有关？参考答案：解：（1）请根据题设数据完成如下列联表；

晕机不晕机合计男107080女102030合计2090110

……6分,故有97.5﹪的把握认为“晕机与性别有关”.

……12分

略22.（本题满分14分）已知椭圆C的方程为其焦点在x轴上，离心率.(1)求该椭圆的标准方程：(2)设动点满足其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为,求证：为定值；(3)在(2)的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)由得又所以解得故椭圆的标准方程为………