2021年广东省汕头市澄海北秀中学高三数学文期末试题含解析

2021年广东省汕头市澄海北秀中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=xa过点P（，），则a的值为(

)A．﹣1 B． C．2 D．3参考答案：B【考点】基本不等式．【专题】不等式．【分析】先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．2.设复数z满足=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.设函数，记则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知函数，则（

）A.0 B.1009 C.2018 D.2019参考答案：B由，所以函数的图像关于点成中心对称图形，所以，所以.试题立意：本小题考查函数奇偶性、函数值等基础知识；意在考查运算求解能力和转化与化归思想.5.雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k=20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是（）A．177 B．157 C．417 D．367参考答案：B【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义进行计算即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义可知抽取的号码构成以17为首项，公差d=20的等差数列{an}，∴an=17+20（n﹣1）=20n﹣3，n=8，a8=157，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．6.已知函数是偶函数，且则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D7.曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则点的坐标为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（

）

A.内的所有直线均与直线异面

B.内不存在与平行的直线C.直线与平面有公共点

D.内的直线均与相交参考答案：C直线不平行于平面，则直线可以与平面相交或直线在平面内，即直线与平面必有公共点，故应选C。本题考查了直线与平面平行及直线与平面的位置关系，利用模型思想可以迅速处理此类问题。9.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（

）A．3步

B．6步

C．4步

D．8步参考答案：B由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．10.已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0，1}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}={﹣1，0}，B={﹣2，﹣1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0}．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．参考答案：

12.经过点且与极轴夹角为的直线的极坐标方程为

.参考答案：，略13.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A处，测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达B点，再次测量得其斜度为，假设建筑物高50米，设山坡对于地平面的斜度为，则

.参考答案：14.设,则函数的值域是__________.参考答案：答案：

15.已知，若恒成立，则实数的取值范围是_______．参考答案：∵，，∴，∴．16.已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则·的取值范围是

。参考答案：【知识点】线性规划问题

E5作出不等式组对应的平面区域如图：

设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大，由，即B（1，2），此时．

由，即D（2，1）此时，故，

故答案为：.【思路点拨】设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.17.已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得=1，由此即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入椭圆方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：

感兴趣无所谓合计男性262450女性302050合计5644100

根据以上数据能否有95%的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？（参考公式，其中）

（2）在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分10分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于9.5分）、“满意”（分数不低于平均分且低于9.5分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．参考答案：（1）没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，理由见解析；（2）.【分析】（1）计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出这个数据的平均数，记这人中“满意”的人分别为、、、，“很满意”的人分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“这两人中至少有一人是“很满意”会员”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】解：（1）由列表可得：．所以没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关；（2）由茎叶图知，这个数据的平均数为．依题意这人中“满意”的有人，记为、、、，“很满意”的有人，记为、．从这人中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件，记为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则中包含的基本事件有：、、、、、、、、，共个基本事件.所以．【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.19.已知椭圆：是离心率为，顶点，，中心到直线的距离为.（1）求椭圆方程；（2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，若为一动点，，为两定点，求的值.参考答案：（1）；（2）（Ⅱ）设，,则由得,即因为点在椭圆上，所以,故设分别为直线的斜率，由题意知，，因此，所以…10分所以点是椭圆上的点，而恰为该椭圆的左右焦点，所以由椭圆的定义，.

…12分考点：1.椭圆的方程；2.椭圆的定义.20.设函数的图象在点处切线的斜率分别为．（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围；（3）若时（是与无关的常数），对任意的、恒成立，求的最小值．参考答案：证明：（1）∵，由题意及导数的几何意义得，

①

②又a<b<c，可得4a<a+2b+c<4c，即4a<0<4c，故a<0，c>0.由①得c=-a-2b，代入a<b<c，再由a<0，得.

③

将c=-a-2b代入②得am2+2bm-2b=0即方程ax2+2bx-2b=0有实根.故判别式△＝4b2+8ab.得

④

由③、④得.

（2）由知方程有两个不等实根，设为x1、x2.又由知为方程的一个实根，由根与系数的关系得时，的递增区间为[].由题设知[]＝[s，t]，因此由⑴知的取值范围为[2，4).（3）由.因.

设，可以看做是关于的一次函数.由题意，.故，即，得，

由题意故，因此k的最小值为.

略21.设函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（Ⅱ）若对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解出各个阶段上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题等价于|a+3|≤2a，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）＜1就是|x﹣3|﹣|x+2|＜1．当x＜﹣2时，3﹣x+x+2＜1，得5＜1，不成立；当﹣2≤x＜3时，3﹣x﹣x﹣2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；当x≥3时，x﹣3﹣x﹣2＜1，即﹣5＜1，恒成立，所以x≥3．综上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣3|﹣|x+a|≤|（x﹣3）﹣（x+a）|=|a+3|，所以f（x）的最大值为|a+3|．对于任意实数x，恒有f（x）≤2a成立等价于|a+3|≤2a．当a≥﹣3时，a+3≤2a，得a≥3；当a＜﹣3时，﹣a﹣3≤2a，a≥﹣1，不成立．综上，所求a的取值范围是[3，+∞）…【点评】本题考查了解绝对