湖南省长沙市湖南师大第二附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（Word含解析）

第第页湖南省长沙市湖南师大第二附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（Word含解析）2022-2023学年第二学期高一期中考试试题卷

数学

时量：120分钟满分：150分

第I卷（选择题）

一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．复数则在复平面内，对应的点的坐标是（）

A．B．C．D．

3．已知非零向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．设，，，则（）

A．B．C．D．

5．函数的零点所在的区间为（）

A．B．C．D．

6．在正方体中，则直线和夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．

7．在中，若，则该三角形是（）

A．直角三角形B．等腰直角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

8．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（）

A．6πB．12πC．18πD．24π

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列叙述中错误的是（）

A．若，则

B．若，则与的夹角为锐角

C．若，，则

D．对任一非零向量，是一个单位向量

10．对于中，有如下判断，其中正确的判断是（）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则

C．若，则符合条件的有两个

D．若，则是钝角三角形

11．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）

A．直线与是相交直线B．直线与是异面直线

C．与平行D．直线与共面

12．已知定义在上的连续函数同时满足以下三个条件：①，，②，当时，都有，③，则下列选项成立的有（）

A．B．，，使得

C．不等式的解集是D．不等式的解集是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．函数的定义域为___________.

14．若，，且，共线，则________.

15．对于锐角，若，则______．

16．中，，，则______．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

18．已知，，.

(1)求的值；

(2)求与的夹角.

19．如图，已知三棱锥，平面，，，，M、N分别是PB、AB的中点．

(1)求证：//平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

20．的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，

(1)求角A的大小；

(2)若，求面积的最大值.

21．如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．

(1)证明：平面；

(2)求到平面的距离．

22．已知.

（1）指出函数的定义域，并求，，，的值；

（2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；

（3）解不等式：.

数学答案

1．D

【详解】

因为，，∴.

2．C

【详解】因为，所以在复平面内，对应的点的坐标是.

故选：C

3．C

【详解】

因为为非零向量，所以.故选：C.

4．C

【详解】

，，即所以故选：C

5．A

【详解】

在上递增，，，所以的零点在区间.故选：A

6．C

【详解】

如图所示，在正方体，连接，可得，

则异面直线和所成的角，即为直线和所成的角，

即异面直线和所成的角，

在中，可得，所以，则.

故选：C.

7．C

【详解】

中，，

，，．所以，，三角形是等腰三角形．故选：C．

8．B

【详解】

解：正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，

设外接球的半径为r，则，解得，故球的直径为.

球的表面积为.故选：B.

9．ABC

【详解】

解：对于A：向量不可以比较大小，故A错误；

对于B：设与的夹角为，则，所以，因为，所以，故B错误；

对于C：当时，满足，，但是与不一定共线，故C错误；

对于D：对任一非零向量，是一个与同向的单位向量，故D正确；

10．ABD

【详解】

对于A中，若，因为函数在上为单调函数，

所以，所以为等腰三角形，所以A正确；

对于B中，若，可得，由正弦定理，

可得，可得，所以B正确；

对于C中，由余弦定理可得，只有一解，所以C错误；

对于D中，若，由正弦定理得，

则，因为，所以，

所以是钝角三角形，所以D正确.

故选：ABD.

11．BD

【详解】

根据异面直线的定义可以判断直线与、直线与、直线与都是异面直线，因此选项AC不正确，选项B正确，

因为，分别为棱，的中点，

所以，由正方体的性质可知：

，

所以四边形是平行四边形，因此，所以，

因此四点共面，所以直线与共面，因此选项D正确，

故选：BD

12．BD

【详解】

因为对，都有，所以为偶函数，因为，当时，都有，所以在上为减函数，因为为偶函数，所以在上为增函数，因为，所以，

对于A，因为在上为减函数，，所以，因为，所以，所以A错误，

对于B，因为在上为减函数，在上为增函数，函数在上的连续函数，所以，所以，都有，所以B正确，

对于C，因为为偶函数，所以可化为，因为在上为减函数，所以，解得，不等式的解集为，所以C错误，

对于D，因为，，所以，因为为偶函数，所以，因为在上为减函数，所以，解得或，所以不等式的解集是，所以D正确，

故选：BD

13．

【详解】

函数需满足，解得且，

故函数的定义域为，

14．

【详解】

根据题意，由平面向量共线定理得，，解得，所以，

所以，，所以.

故答案为：.

15．

因为为锐角，所以，所以，又因为

所以

.故答案为：

16．

【详解】

由已知得，

又，即，

故，又在中，，故，

17．(1)；

(2).

(1)

连接，则，设，

在中，，；

(2)，

∴圆锥球.

18．(1)

(2)

(1)由，得，因为，，

所以，所以，所以

(2)设与的夹角为，因为，

，所以，

因为，所以

19．(1)、分别是、的中点，，

平面，PA平面PAC，//平面；

(2)由(1)知，∵PA⊥平面ABC，平面，

即为直线与平面所成角，，

，

，，，，CM＝，

.

20．(1)(2)

(1)依题意，

由正弦定理得，

由于，所以，则.

(2)

由余弦定理得，

即，当且仅当时等号成立.

所以.即面积的最大值为.

21．(1)证明见解析；

(2).

(1)

在四棱锥中，底面，平面，则，

在中，，而，即有，

则有，因，平面，

所以平面.

(2)

由（1）可得，，因，则，

，，令到平面的距离为h，

由，即得：，解得，

因，平面，平面，于