菱形与正方形

特别平行四边形—菱形学问总结1、菱形的概念：一组边的平行四边形叫做菱形。2、菱形的性质：菱形的四边都相等；菱形的两条对角线相互平分；〔3〕菱形的每条对角线一组对角。3、菱形的判别方法：一组 边 的平行四边形是菱形〔定义；有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线相互 的平行四边形是菱形；对角线相互 的四边形是菱形；条边都相等的四边形是菱形。4、菱形的面积〔设菱形的边长为a：菱形的面积等于对角线乘积的一半〔只要是对角线相互垂直的四边形都可用S菱形

1(ACBD)；2

底高；菱形设一个夹角为，则面积公式是S菱形

a2sin。5C菱形

4a2 AC2BD而菱形中又有特别的一类就是正方形。根底例题：1〔2023玉林〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且ACBD，则图中全等三角形有〔 〕A.4对 B.6对 C.8对 D.10对2〔2023•宜昌〕如图，在菱形ABCD中，AB5，BCD120，则ABC的周长等于〔 〕A.20 B.15 C.10 D.53〔2023•山西〕如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AEBC于点E，则AE的长是〔 〕A.5 3 B. 2 5 C. 48 D. 245 54〔2023江苏扬州，7，3分〕ABCDBAD80AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则CDF等于〔．A．50° B．60° C．70° D．80°52023173ABCDAB4B60AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF的面积是 判定定理例题：判定一：一组邻边相等的平行四边形是菱形〔定义〕例1AD平分BACDE//ABDF//ACEFAD相互垂直平分．变式练习1常州ABCAC60ECA是ABCAD平分FACCD平分ECA．求证：四边形ABCD是菱形2〔2023•雅安〕在YABCDE、FAB、CDAECF．VADEVCBF；DFBFDEBF为菱形．3〔2023•遂宁ABCD是平行四边形，DEAB，DFBC，E、FDEDF．1〕VADECDF；〔2〕ABCD是菱形判定二：有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2：ABCD，BD∠ABC，ABCD变式练习：ACBDO，AC平ABCD判定三：对角线相互垂直的平行四边形是菱形，ACBDOAB=10cm，AC=16cm，BD=12cm。ABCDABCD变式练习：1ACADBCEF，AFCE2〔2023•曲靖〕如图，在ABCDACBDO，OEFBCE，ADF，AE、CF．AECF判定四：对角线相互垂直且平分的四边形是菱形，AD∠BAC，EFADABE，交ACF．AEDF变式练习：1ABCDACADF，BCE。求证：四边形AECF是菱形；2〔2023.咸丰二模〕如图，OABCDOm、nE、F、G、H.ABCD外形，并给出理由。判定五：四条边都相等的四边形是菱形5ABCDACAD、BC、ACE、F、O，连接AF、ECAFCE是菱形吗？为什么？变式练习：AB、BC、CD、DAEFGHABCD，AB=AD，CB=CD，ECD，BEACF，DF．证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；AB∥CDABCD在〔2〕的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．面积周长例题：1、如图，菱形的对角线BDAC的长分别是68，求菱形的周长与面积．变式练习：1〔2023•随州〕如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是〔 〕A．25 B．20 C．15 D．102、菱形ABCD的周长为48cm，两个邻角∠A与∠B的比是1：2，求这个菱形的面积．力气提升：〔2023•娄底〕某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全一样的且含ABCAFE〔1〕所示位置放置放置，现将Rt△AEFAα〔0°＜α＜90°，如图2AEBCACEFN，BCEFP．〔1〕求证：AM=AN；当旋转角α=30°ABPF正方形学问梳理正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形的性质正方形是特别的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的全部性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线相互垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．轴对称图形．〔如图〕正方形的判定定理1：一组邻边相等的矩形是正方形．判定2：对角线相互垂直的矩形是正方.4：对角线相等的菱形是正方形.【例题讲解】一、正方形的性质1、推断以下命题是否正确：四条边相等的四边形是正方形〔 〕两条对角线相等且相互垂直的四边形是正方形〔 〕两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形〔 〕两条对角线相互垂直的矩形是正方形〔 〕变式练习：1、正方形具有而矩形不愿定具有的性质是( )

平行四边形正矩形方菱形形A、四个角相等 B、对角线相互垂直平分C、对角互补 D、对角线相等.2、正方形具有而菱形不愿定具有的性质〔 〕A、四条边相等. B、对角线相互垂直平分C、对角线平分一组对角 D、对角线相等.3、正方形对角线长6，则它的面积为 ，周长为 ．4、如图是2023年824届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCDEFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．3、如图，EABCDBC延长线上一点，CE=AC，AECDF，求∠AFC的度数。4、如图，正方形ABCD的对角线相交于O，EF∥AB，并且分别与OA，OB相交于E，FBE=3厘米，求CF的长．变式练习：1、以下说法中，正确的个数有 〔 〕〔1〕对角互补的平行四边形是矩形；〔2〕对角线相等的四边形是矩形；对角线相互垂直且有一组邻边相等的四边形是正方形；对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个2、如图，四边形ACDE、BAFGABC的边AC、ABABC求证：(1)EB=FC. (2)EB⊥FC.3、〔202330〕如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中EBC上，且B、E点不重合，并连接BG．依据图中标示的角推断以下∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？〔〕A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠44〔2023•黔东南州〕如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点MME∥CDBCE，作MF∥BCCDF．求证：AM=EF二、正方形的判定例1.以下说法错误的选项是〔 〕A．两条对角线相等的菱形是正方形；B．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形；C．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形；D．两条对角线垂直的矩形是正方形。例2、四个内角都相等的四边形确定是〔 〕A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形变式练习：在□ABCD中，∠A=90°，假设添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是〔〕A．∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是〔 〕A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠ D.OA=OC，OB=OD，AB=BC2、ABCDAEBFCGDHEFGH是正方形．变式练习：1、如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为四边中点，连接AG、BH、CE、DF依次相交于M、N、P、Q。求证：四边形MNPQ是正方形2〔2023•铁岭〕如图，△ABCAB=AC，ADABC的角平分线，点OABDOEOE=OD，连接AE，BE．求证：四边形AEBD是矩形；当△ABCAEBD三、正方形的综合计算1、ABCDCEMNMCE35．求ANM。2、如图，PABCDAB上任意一点，AC，BDO，PM⊥OA，PN⊥OB于N，假设AB=10，则四边形PMON的周长为 。变式练习：1、如图，四边形ABCD为正方形，以ABABE，交BDF，求∠AFD2、如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时正方形的中心O所经过的路径长为 。3〔2023〕如图，在正方形ABCD2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，以下结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ 3．其中正确的序号是 〔把你认为正确的都填上．例3、3×339的不同的正方形，同时要求所画正方形的顶点都在方格的顶点上，并且写出边长．边长为 边长为 边长为变式练习：1、(2023年广东省佛山市模拟)如图〔1〕矩形纸片，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？在图〔2〕中用实线画出折叠后得到的图形〔要求尺规作图，保存作图轨迹，只需画出其中一种状况〕折叠后重合局部是什么图形？试说明理由。A B A BD〔1〕

C D C〔2〕2、〔1〕〔2023〕1，△ABC，以AB、ACABCABD等边△ACE，连接BE，CD。请你完成图形，并证明：BE=CD；〔尺规作图，不写做法，保存作图痕迹〕〔2〕2，△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD。BECD4〔2023ABCDABADDF=BE．求证：CE=CF；〔2〕GADGCE=45GE=BE+GD变式练习：12023济宁如图1ABCDEF分别是边ADDCAF⊥B〔1〕求证：AF=BE；2ABCDMNPQABBCCDDAMP⊥NQ．MPNQ2ABCDAC、BDO，EACAG⊥EBEBG，AGBDF〔1〕OE=OF在〔1〕EACAG⊥EBEBG，AG、BDF，其他条件不变，如图2，OE=O”还成立吗？请说明理由。5〔2023•德城区二模〕如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MNCN的长度为变式练习：1、如图，有一边长为2的正方形ABCDM，N分别是ADBC边上的中点，将点C折到MNP位置，折痕为BQPQMP的长。2、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角B的直线折叠，使AMN上，落点记为A′，折痕交ADEM、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=6ABCDBEFGRKPFGDK上，BEFG4，则DEK的面积为〔〕〔A〕10 〔B〕12 〔C〕14 〔D〕16变式练习：1、如图，正方形ABCD中，边长为2，其中正方形A’B’C’O与正方形ABCD全等，顶点在正方形ABCD对角线交点O，求阴影局部面积。2、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影局部EOFB，GHMN都是正方形的花圃．自由飞行的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为〔 〕17 1 17 17A32

D383、如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是〔单位：平方厘米〔〕A40B25C、26D、364、现有一张边长等于a〔a＞16〕8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5局部，则阴影局部是〔〔填写图形的外形〔如图的一边长是〔〕7〔2023•钦州〕如图，在正方形ABCDEABBE=2，AE=3BE，PAC动点，则PB+PE变式练习：1〔2023•铜仁〕以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是〔 〕2、如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，假设点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值〔 〕A．2 B．4 C、2 2 D、4 28、如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．〔1〕证明：CF=BE； 〔2〕假设正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积变式练习：12023•宁夏正方形ABCD的边长为F分别是ABCEDF=4△DAE绕点D90°，得到△DCM．〔1〕求证：EF=FM； 〔2〕当AE=1时，求EF的长．2〔2023•江西〕ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEFA旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是3〔2023•毕节地区〕四边形ABCD是正方形，E、F分别是DCCB的延长线上的点，且DE=BFAE、AF、EF．求证：△ADE≌△ABF；填空：△ABF可以由△ADEA90度得到；假设BC=8，DE=6，求△AEF的面积9〔2023•湛江〕如图，设四边形ABCD1AC正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去„．假设正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，„，an，则an=〔〕变式练习：1、点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接写出以下两题的答案：①如图左，矩形ABCD2个全等的正方形组成，求GH的长；②如图右，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(n的代数式表示).2〔2023年烟台〕将n个边长都为lcm的正方形按如以下图的方法摆放，点A，A，„„，1 2A分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠局部(阴影局部)的面积和为〔 〕n1 n 1 1．4c。 B．4c2Ｃ〔n－4〕c2 D．(4〕c210、ABCDAB=8cmAC，BDO，E，FB，C1cm/s的速度沿BC，CDC，Dt(s)，△OEF的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图像表示为 。11、〔2023•黑龙江〕在△ABCBAC=90°，AB=AC，假设点D在线段BCAD长作正方形ADEF1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；假设点DBCAFC、∠ACB、∠DAC2假设点D在CBAFC、∠ACB、∠DAC提高训练：1.如以下图，过正方形ABCDAEAF=45°，E，FBC，CDEF，作AH⊥EFH，试说明AH=AB。2、如图4-4-8，正方形ABCDE是BCEAE的垂线分别交CD、ABF、G，求证：BE=BG+CF。3、正方形ABCD于正方形CEFG4-4-9所示，点G在线段CDCD分别连接BD、BF、FB，得到△BFD。在图—图CEFG134ABCD3，请通过计算填写下表：正方形CEFG△BFD

1 3 4假设正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜测S

△BFD

的大小。4PABCDACEBCPE＝EB，连PD，OAC中点．1PAOPEPD的数量关系和位置关系，不用说明理由；如图2，当点P在线段OC〔〕中的猜测还成立吗？请说明理由；3PAC3中画出相应的图形〔尺规作图，保存作图痕迹，不写作法，并推断1〕假设不成立，请说明理由．APO·

A DDA DOO ··PBB CB CE C E5ABCDE是边BCAEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CFF，求证：AE=EF。经过思考，小明呈现了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF。在此根底上，同学们作了进一步的争论：2E是边BCE是边BC上〔除B，C外〕AE=E”照旧成立，你认为小颖的观点正确吗？假设正确，写出证明过程；假设不正确，请说明理由；3EBC的延长线上〔除C点外〕的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”照旧成立．你认为小华的观点正确吗？假设正确，写出证明过程；假设不正确，请说明理由。课后作业：一、选择题矩形的各角平分线假设相交围成的四边形是〔 〕A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D正方形正方形一边上任一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的〔 〕1 1 1A 3 B 2 C 4

D23．E为正方形ABCD的BC延长线上的点，且CE＝AC，AE交CD于F，则∠ACE＝〔 〕A 13