信号与线性系统分析-第4章-课件

4.1信号分解为正交函数在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表示。这组矢量称为正交矢量集。一.正交函数集

正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则

正交函数集：n个函数1(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)内构成的正交函数集{i(t)}满足14.1信号分解为正交函数在线性空间中，任何矢量可用相互垂直Ki为常数，如果Ki＝1，则称该函数集为归一化正交函数集。完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数与之正交。 一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。正交复函数的定义：正交函数集例：（在区间[t0，t0+T]，且T=2）三角函数集：{1，cos(nt)，sin(nt)；n＝1，2，3，…}复指数函数集：{ejnt；n＝0，1，2，…}2Ki为常数，如果Ki＝1，则称该函数集为归一化正交函数集。二.信号分解为正交函数

对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得3二.信号分解为正交函数选择Cj时使实际函数与近似函数之间于是可得误差均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。4于是可得误差均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和5当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程帕斯4.2傅里叶级数周期信号在区间(t0，t0＋T)上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为傅里叶级数。一.周期信号的分解设有周期信号f(t)，可分解为an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得64.2傅里叶级数周期信号在区间(t0，t0＋T)上可以展开an是n的偶函数，即a−n＝an； bn是n的奇函数，即b−n＝−bn。f(t)分解式的另一种形式式中 A0=a07an是n的偶函数，即a−n＝an；式中 A0=例：将方波信号展开为傅里叶级数。1f(t)t-T-1T解：傅里叶系数为8例：将方波信号展开为傅里叶级数。1f(t)t-T-1T解：傅里叶级数的展开式为9傅里叶级数的展开式为9 图示方波信号分解 吉布斯(Gibbs)现象：当n时，在间断点处有9%的偏差。 如果方波信号如图所示1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式为10 图示方波信号分解1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式二.奇、偶函数的傅里叶系数

根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为f(t)为奇函数，则系数为11二.奇、偶函数的傅里叶系数根据傅里叶系数计算式，f(t)任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 f(t)＝fod(t)＋fev(t)由于 f(−t)＝fod(−t)＋fev(−t)＝−fod(t)＋fev(t)所以例f(t)=e−t(t)，则0tf(t)0.5−0.50tf(t)0.512任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分例f(t)=e−tFf(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形13Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TT全波整流信号f1(t)=E|sin0t|Ef1(t)t-TT14全波整流信号Ef1(t)t-TT14求半波整流信号f2(t)＝Esin(0t)(sin0t)的傅立叶级数。Ef2(t)t-TT半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：15求半波整流信号f2(t)＝Esin(0t)(sin0tf(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，即对称于横轴 f(t)＝−f(tT/2)1f(t)t-TT奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。16f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，三.傅里叶级数的指数形式因为cosx＝(ejx＋e−jx)/2，所以A−n＝An−n＝−n17三.傅里叶级数的指数形式因为cosx＝(ejx＋e−jx Fn称为复傅里叶系数，计算式为18 Fn称为复傅里叶系数，计算式为18傅里叶级数小结：19傅里叶级数小结：194.3周期信号的频谱一.周期信号的频谱周期信号的傅里叶级数An、Fn、n与n有关，也即与频率有关。An或|Fn|与之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为幅度频谱。

n与之间的关系称为相位频谱。周期信号的频谱只在＝n处取值，是离散频谱。

204.3周期信号的频谱一.周期信号的频谱An、Fn、Sa(x)二.周期矩形脉冲的频谱01T/2-T-/2f(t)t定义取样函数为Sa(x)为偶函数21Sa(x)二.周期矩形脉冲的频谱01T/2-T-/2f所以在频谱图上＝n处，存在谱线，谱线间隔为。T不变：减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图。信号能量集中在第一个零点内，＝2/＝2f0

。定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：F=f0=1/。22所以在频谱图上＝n处，存在谱线，谱线间隔为。T不变：三.周期信号的功率周期信号的归一化平均功率这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为1，脉冲宽度为0.2，周期为1的矩形脉冲信号，信号功率为23三.周期信号的功率这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。23其傅里叶系数为第一个零点为0.2n=，即n=5。在频谱第一个零点内各分量的功率和为第一个零点内分量所占总功率的比例为24其傅里叶系数为第一个零点为0.2n=，即n=5。第一个零4.4非周期信号的频谱一.傅里叶变换由傅里叶级数的指数形式及其系数可得当T时，d，1/Td/2，n，离散频率变成连续频率，Fn为无穷小。上式成为254.4非周期信号的频谱一.傅里叶变换当T时，d常用下面符号简记： F(j)＝F

[f(t)]F[f(t)]表示对函数f(t)取傅里叶变换，F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数； f(t)＝F

−1[F(j)]F

−1[F(j)]表示对函数F(j)取逆变换

，f(t)称为F(j)的原函数。对应关系简记为：f(t)F(j)频谱函数是的复函数 F(j)＝|F(j)|ej()＝R()＋jX()其中|F(j)|为幅度频谱，()为相位频谱。26常用下面符号简记：26比较：实函数f(t)，复函数F(j)，复变函数F(s)。傅里叶变换的三角函数形式物理意义：非周期信号含有所有连续频率分量，但其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。|F(j)|是偶函数该项积分为027比较：实函数f(t)，复函数F(j)，复变函数F(s)。物一些特殊函数的傅里叶变换(1)门函数的频谱函数门函数g(t)＝(t＋/2)−(t−/2)频谱图傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积f(t)t/21028一些特殊函数的傅里叶变换频谱图傅里叶积分存在的充分条件是f(2)单边指数函数的频谱函数单边指数函数 f(t)＝e−t(t)>0幅度谱和相位谱分别为0tf(t)29(2)单边指数函数的频谱函数幅度谱和相位谱分别为0tf(3)双边指数函数的频谱函数双边指数函数 f1(t)＝e−|t|

>0(4)另一形式的双边指数函数的频谱函数双边指数函数(>0)30(3)双边指数函数的频谱函数(4)另一形式的双边指数函数二.奇异函数的傅里叶变换(1)冲激函数的频谱

频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。冲激函数的频谱也可由门函数推得(t)131二.奇异函数的傅里叶变换(1)冲激函数的频谱频谱密度(2)冲激函数导数的频谱即'(t)j幅度谱|F(j)|＝，相位谱()＝/2。根据广义函数导数的定义可得F

[(n)(t)]＝(j)n。(3)单位直流信号的频谱单位直流信号可看作双边指数函数f1(t)当0时的极限直流分量为有限值，频谱密度为无穷。32(2)冲激函数导数的频谱即频谱函数是冲激函数，其强度为所以(4)符号函数的频谱

符号函数定义为1sgn(t)t0-133频谱函数是冲激函数，其强度为所以(4)符号函数的频谱1sgn(t)可看作是双边指数函数f2(t)当0时的极限，其频谱函数为通常表示为sgn(t)2/j(5)阶跃函数的频谱

34sgn(t)可看作是双边指数函数f2(t)当0时的极限，常用函数的傅里叶变换：35常用函数的傅里叶变换：354.5傅里叶变换的性质(1)线性 若 fi(t)Fi(j)(i=1,2,…,n) 则对任意常数ai(i=1,2,…,n)，有

傅里叶变换对傅立叶变换后线性性质不变。364.5傅里叶变换的性质(1)线性傅里叶变换对傅立叶变换(2)奇偶性分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。频谱函数的实部和虚部分别为频谱函数的模和相角分别为37(2)奇偶性分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系f(t)是时间t的实函数： R()=R(−),X()=−X(−) |F(j)|=|F(−j)|,()=−(−) 若f(t)是偶函数，则X()＝0，F(j)＝R()； 若f(t)是奇函数，则R()＝0，F(j)＝jX()。 f(−t)的傅里叶变换为＝F(−j)＝R(−)＋jX(−)＝R()−jX()＝F*(j)即F

[f(−t)]＝F(−j)＝F*(j)38f(t)是时间t的实函数：f(t)是时间t的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有 R()=−R(−),X()=X(−) |F(j)|=|F(−j)|,()=−(−)

F

[f(−t)]＝F(−j)=−F*(j) 类似可得f(t)为复函数的性质。无论f(t)为实函数或复函数，都有

F

[f(−t)]=F(−j)

F

[f*(t)]=F*(−j)

F

[f*(−t)]=F*(j)39f(t)是时间t的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有39(3)对称性 若 f(t)F(j) 则 F(jt)2f(−) 傅里叶逆变换式将式中的自变量t换为−t得将上式中的t换为，换为t，即得40(3)对称性 若 f(t)F(j)将式中的例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。门函数傅氏变换 g(t)

Sa(/2)

根据对称性Sa(t/2)2g(−)令＝2，则得 Sa(t)

g2()例：求函数f(t)=t的频谱函数。

'(t)j jt2'(−)=−2'() tj2'()41例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。41(4)尺度变换 若 f(t)F(j) 则如a>1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。证明：令x=at，则当a>0时42(4)尺度变换 若 f(t)令x=t−t0(5)时移特性

当a<0时 若 f(t)F(j) 则f(tt0)ejt0F(j)，(t0为常数)证明：同理可得f(t+t0)的变换。43令x=t−t0(5)时移特性当a<0时 若 例：求图示五脉冲信号的频谱。解：单脉冲信号的变换为g(t)Sa(/2)

因为f(t)＝g(t)+g(t+T)+g(t−T)+g(t+2T)+g(t−2T)所以F(j)＝Sa(/2)(1+ejT+e−jT+ej2T+e−j2T)＝Sa(/2)[1+2cos(T)+2cos(2T)]当T＝4时波形见图4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脉冲数n→？44例：求图示五脉冲信号的频谱。解：单脉冲信号的变换为f(t)t综合尺度变换和时移特性有 若 f(t)F(j) 则由尺度变换可得反转特性:F

[f(−t)]＝F(−j)例：求图示f2(t)、f3(t)函数的傅里叶变换。f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-145综合尺度变换和时移特性有由尺度变换可得反转特性:F解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换为 g2(t)2Sa()函数f2(t)可表示为 f2(t)=f1(t+1)－f1(t−1)其傅里叶变换 又f3(t)=f2(2t)，所以46解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换为又f3(t)=f2(2f3(t)也可直接由综合变换式求得f3(t)=g2(2t+1)−g2(2t−1) g2(t)2Sa()47f3(t)也可直接由综合变换式求得47(6)频移特性 若 f(t)F(j)，且0为常数 则应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t得到。因为同理可得48(6)频移特性 若 f(t)F(j)，且0例：矩形调幅信号49例：矩形调幅信号49(7)卷积定理时域卷积定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)则 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)

证明：50(7)卷积定理时域卷积定理50频域卷积定理若 f1(t)F1(j) f2(t)F2(j)则证明：51频域卷积定理证明：51例：求斜升函数r(t)=t(t)的频谱。解：根据函数t和(t)的频谱，应用频域卷积定理由此可得：

F

[|t|]=F

[t(t)+(−t)(−t)]52例：求斜升函数r(t)=t(t)的频谱。由此可得：(8)时域微分和积分时域微分定理 若 f(t)F(j) 则 f(n)(t)(j)nF(j)根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有

F

[f'(t)]=F

[f(t)*'(t)]=F

[f(t)]·F

['(t)]=jF(j)重复应用以上结果得时域微分定理。在交流电路分析时：时域积分定理 若 f(t)F(j) 则f(−1)(t)

F(0)()+(j)−1F(j)

53(8)时域微分和积分时域微分定理=F[f(t)]·F根据时域卷积定理，可得

F

[f(−1)(t)]=F

[f(−1)(t)*(t)]=F

[f(t)*(−1)(t)] =F

[f(t)]·F

[(t)]=F(j)[()+1/j] =F(0)()+F(j)/j

F(0)可以在频域中求，也可在时域中求：54根据时域卷积定理，可得54例：求三角形脉冲的频谱函数。f(t)t-/2/210f'(t)t-/2/22/0-2/f"(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)对其求二次导数得冲激函数55例：求三角形脉冲的频谱函数。f(t)t-/2/210ff(t)的频谱函数为因为F(0)=0，F(j)/j|=0=0，所以f(t)的频谱函数为则三角形脉冲可表示为56f(t)的频谱函数为因为F(0)=0，F(j)/j|=则频谱函数应为在时域积分定理中认为实际上例：(t)与sgn(t)/2的导数都是(t)，但−时值不同57则频谱函数应为在时域积分定理中认为实际上例：(t)与sgn(9)频域微分和积分

频域微分 若 f(t)F(j) 则 (−jt)nf(t)F(n)(j)或 tnf(t)jnF(n)(j) 证： F

−1[F'(j)]=F

−1[F(j)*'()] =2F

−1[F(j)]·F

−1['()]即(−jt)1f(t)F(1)(j)类推可得n次微分。时域函数有tn因子时，变换可考虑用频域微分性质。58(9)频域微分和积分频域微分即频域积分 若 f(t)F(j) 则式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求证明：

F

−1[F(−1)(j)]=F

−1[F(j)*(−1)()] =2F

−1[F(j)]·F

−1[()]=2f(t)·F

−1[()]59频域积分式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求证明：59时域函数有t−1因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域积分性质因为根据对称性取反转60时域函数有t−1因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域积分例：求r(t)=t(t)的频谱函数。例：求Sa(t)=sint/t的频谱函数。应用频域微分应用频域积分61例：求r(t)=t(t)的频谱函数。例：求Sa(t)=si若

f1(t)F1()，f2(t)F2()则有相关定理

F

[R12()]=F1(j)F2*(j)

F

[R21()]=F1*(j)F2(j)这是因为

F

[R12()]=F

[f1()*f2(−)]=F1(j)F2(−j)=F1(j)F2*(j)相关定理中f1(t)、f2(t)应该是实函数。对于自相关函数则有

F

[R()]=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10)相关定理62若f1(t)F1()，傅里叶变换性质小结线性 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)+a2F2(j)奇偶性f(t)为实函数：R()、|F(j)|偶函数；X()、()奇函数。F

[f(−t)]=F(−j)=F*(j)对称性 F(jt)2f(−)时移特性尺度变换63傅里叶变换性质小结线性 a1f1(t)+a2f2(时域卷积定理 f1(t)*f2(t)F1(j)·F2(j)频域卷积定理时域微分 f(n)(t)(j)nF(j)时域积分频域微分 (−jt)nf(t)F(n)(j)频域积分频移特性64时域卷积定理 f1(t)*f2(t)F1(j) 若E、P有界，则f(t)称为能量信号或功率信号。能量谱若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系

4.6能量谱和功率谱65 若E、P有界，则f(t)称为能量信号或功率信号。4.6能即上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。可将上式改写为物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷小量|F(j)|2df。定义能量密度谱

E

()=|F(j)|2信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数

E

()=F

[R()]=|F(j)|2E

()反映了信号的能量在频域中的分布。66即上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。物理意义：在df频带功率谱定义函数fT(t)=f(t)[(t+T/2)−(t−T/2)]FT(j)=F

[fT(t)]如果f(t)是实函数，则信号平均功率为当T时，fT(t)f(t)。定义功率密度谱为功率谱P()反映信号功率在频域中分布。67功率谱当T时，fT(t)f(t)。定义功率密度谱为功若f1(t)和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为若f(t)是功率信号，定义自相关函数为其傅立叶变换为68若f1(t)和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为若f(t即R()P()此即维纳-欣钦关系，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。例：求信号f(t)=Sa(t)的能量。解：已知变换对根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为69即4.7周期信号的傅里叶变换一.正、余弦函数的傅里叶变换二.一般周期函数的傅里叶变换

周期函数展开成傅里叶级数式中=2/T。704.7周期信号的傅里叶变换一.正、余弦函数的傅里叶变换二周期函数的傅里叶变换 上式表明周期函数的F(j)和Fn之间关系。傅里叶变换得到的是频谱密度F(j)，傅里叶级数得到的是傅里叶系数Fn。周期性单位冲激函数系列称为梳状函数71周期函数的傅里叶变换 上式表明周期函数的F(j)和Fn之所以T(t)的傅里叶变换为梳状函数的傅里叶系数为0-2T-TT2TT(t)t0-2-2()72所以T(t)的傅里叶变换为梳状函数的傅里叶系数为0-2周期信号fT(t)在一个周期内(−T/2~T/2)函数令为f0(t)，则 fT(t)=f0(t)*T(t)(见P71)其傅里叶变换为比较可得傅里叶变换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。主周期信号f0(t)包含了周期信号fT(t)的全部信息。73周期信号fT(t)在一个周期内(−T/2~T/2)函数令为f则其傅里叶变换为例：周期矩形脉冲信号其傅里叶系数为74则其傅里叶变换为例：周期矩形脉冲信号其傅里叶系数为747575例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。fT(t)0t1T-T解：f1(t)的傅里叶变换为f0(t)的傅里叶变换为f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/276例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。fT(t)0t1TfT(t)的傅里叶系数为fT(t)的傅里叶级数为实际上77fT(t)的傅里叶系数为fT(t)的傅里叶级数为实际上74.8LTI系统的频域分析一.频率响应

系统的时域分析法用(t)或(t)作为基本信号，系统的频域分析法可用虚指数函数ejt作为基本信号。在时域分析中，系统的零状态响应为 yzs(t)=h(t)*f(t)应用傅里叶变换的时域卷积性质，上式成为 yzs(t)=F

−1[H(j)·F(j)]频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将时域中的卷积运算变换为频域中的相乘运算。由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因此以下yzs(t)简写为y(t)。784.8LTI系统的频域分析一.频率响应78LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=ejt(−<t<)，则系统的零状态响应y(t)=h(t)*f(t)式中H(j)是h(t)的傅里叶变换，称为系统频率响应函数或系统函数。H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位变化。任意信号f(t)可以看作无穷多个虚指数信号ejt之和，即79LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=任意信号激励下的零状态响应的推导：H(j)也可定义为|H(j)|称为幅频特性，()称为相频特性。80任意信号激励下的零状态响应的推导：H(j)也可定义为|H例：求系统y'(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，f(t)=e−t(t)。解：对微分方程取傅里叶变换得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得激励的傅里叶变换响应的傅里叶变换取傅里叶逆变换得系统响应y(t)=(e−t－e−2t)(t)81例：求系统y'(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，f(例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态响应uC(t)。+CR_+us(t)_uC(t)解：电路频率响应函数为激励的傅里叶变换82例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态响应u电路零状态响应uC(t)的频谱函数为取傅里叶逆变换得uC(t)=F

1[UC(j)]=(1et)(t)根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函数，由H(j)可求得系统的零状态响应。83电路零状态响应uC(t)的频谱函数为取傅里叶逆变换得83例：求图示系统的输出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y(t)H(j)解：门函数的频谱函数为取＝4，根据对称性可得 4Sa(2t)2g4(−)=2g4()即 F

[sin(2t)/t]=g4()s(t)的频谱函数为 F

[cos(3t)]=[(+3)+(−3)]84例：求图示系统的输出y(t)。已知f(t)s(t)x(t)y根据系统图得 y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*[f(t)·s(t)]取傅里叶变换得85根据系统图得85取逆变换可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(−3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+g2(−2)86取逆变换可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(二.无失真传输无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(t−td)对上式取傅里叶变换得：Y(j)=Ke−jtdF(j)系统的频率响应函数为：H(j)=Ke−jtd

所以无失真传输的条件为 |H(j)|=K ()=−td

|H(j)|0K()087二.无失真传输无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(无失真传输系统的冲激响应为 h(t)=K(t−td)无失真传输系统的冲激响应还是冲激函数，但有强度变化和延时。三.理想低通滤波器的响应理想低通滤波器可看作频域中宽度为2c的门函数根据对称性，由得|H(j)|01c-c()88无失真传输系统的冲激响应为根据对称性，由得|H(j)令=2c，得所以理想低通滤波器的冲激响应冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。89令=2c，得所以理想低通滤波器的冲激响应冲激响应理想低通滤波器的阶跃响应为式中Sa(x)为偶函数，其积分定义正弦积分

所以令c(−td)=xxc=c(t−td)90理想低通滤波器的阶跃响应为式中Sa(x)为偶函数，其积分定义物理可实现系统应满足的条件： 时域（因果条件）h(t)＝0,t<0g(t)＝0，t<0频域(Paley-Wiener准则)幅频特性满足平方可积而且满足物理可实现系统，其H(j)可以在某些孤立点上为0，但不能在某个有限频带内为0。91物理可实现系统应满足的条件：而且满足物理可实现系统，其H(j4.9取样定理一.信号的取样

取样——利用取样脉冲序列s(t)从连续时间信号f(t)中取出一系列离散样本值fs(t)的过程。 fs(t)=f(t)·s(t)f(t)0ts(t)0tTsfs(t)0tTsfs(t)称为取样信号，s(t)称为开关函数，Ts为取样周期，s为取样角频率。fs(t)f(t)s(t)数字信号量化编码924.9取样定理一.信号的取样f(t)0ts(t)0tT取样的目的：将模拟信号转换为数字信号。取样的要求：保持原有信号的所有信息。由频域卷积定理可得取样信号的频谱函数开关函数可以为冲激函数系列或矩形脉冲系列。冲激取样梳状函数其频谱函数(见P169)也为周期脉冲系列93取样的目的：将模拟信号转换为数字信号。开关函数可以为冲激函数 如果连续信号f(t)为区间(−m，m)内频带有限信号(简称带限信号)，则ss()0sTs(t)0tTs1f(t)0tF(j)0mfs(t)0tTsFs(j)0sm94 如果连续信号f(t)为区间(−m，m)内频带有限信号(当s>2m时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号。否则就不能恢复原信号。例：对信号f(t)=2sin0t+sin30t进行冲激取样，取样频率应为多少？因为m=30，所以s>60。矩形脉冲取样取样脉冲序列是幅度为1，脉宽为(<Ts)的矩形脉冲序列 s(t)=pTs(t)其频谱函数(见P168)为95当s>2m时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号则取样信号的频谱函数f(t)0tF(j)0m-mP(j)0spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0sm96则取样信号的频谱函数f(t)0tF(j)0m-mP(二.时域取样定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)为了从Fs(j)中无失真地恢复F(j)，选择一个理想低通滤波器(时延为0，幅度为Ts)输出信号频谱 F(j)=Fs(j)·H(j)F(j)0smc97二.时域取样定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)低通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为由此得令c=s/298低通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为由此得令c9999f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs(j)0sm-s0cH(j)-c0F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)100f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsF时域取样定理：一个频谱在区间(−m，m)以外为零的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts(Ts<Tm/2，或s>2m)上的样点值f(nTs)确定。奈奎斯特(Nyquist)频率：取样频率的下限fs＝2fm；奈奎斯特间隔：取样间隔的上限Ts＝Tm/2。例1：求信号f(t)＝2+4cos(5t)+cos(10t)的取样频率。解：因为m＝2fm＝10rad/sf(t)最高频率fm＝5/Hz奈奎斯特频率fs＝2fm＝10/Hz奈奎斯特间隔Ts＝1/fs＝/10s101时域取样定理：一个频谱在区间(−m，m)以外为零的带限例2：求信号f(t)＝Sa(100t)的取样频率。解：因为Sa(t/2)2g()取＝200，其m＝100rad/s，fm＝50/Hz所以fs>100/Hz，Ts</100s频域取样定理：一个在时域区间(−tm，tm)以外为零的有限时间信号f(t)的频谱函数为F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs(fs<1/2tm)上的样点值F(jns)确定。102例2：求信号f(t)＝Sa(100t)的取样频率。102题4.20(5)、(8)解(5)：设f1(t)＝tf(t)，f2(t)＝f1(1−t)＝(1−t)f(1−t)，其频谱函数分别为解(8)：设f1(t)＝f(3−2t)，f2＝ejtf1(t)＝ejtf(3−2t)，其频谱函数分别为注意！103题4.20(5)、(8)解(5)：设f1(t)＝tf(t)题4.21(4)解：因为给定频谱函数104题4.21(4)解：因为给定频谱函数104105105题4.21(4)另一种解法：F(j)＝[()−(−2)]e-j＝g2(−1)e−j因为Sa(t/2)2g()令=2得时移频移所以106题4.21(4)另一种解法：时移频移所以106题4.22(b)解：图示频谱函数为根据变换对Sa(t/2)2g()取＝0，则所以107题4.22(b)解：图示频谱函数为根据变换对题4.33解：因为s(t)S(j)所以频谱函数为系统的频率响应为108题4.33解：因为s(t)题4.33也可这样求频谱函数为109题4.33也可这样求频谱函数为109题4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)fs2(t)x(t)y(t)cos(b+m)tH2(j)0mF(j)-m0bFs1(j)-b0bH1(j)-b110题4.40fs1(t)f(t)cos(bt)H1(j)f0bX(j)-b0mFs2(j)-b-mmb+m0mH2(j)-m0mY(j)-m1110b