数列-北京市十区2022-2023学年高二下学期期末数学试题分类汇编（Word含答案）

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数列

一、选择题

1、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知等比数列的首项和公比相等，那么数列中与一定相等的项是（）

A.B.C.D.

2、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知为等比数列，公比，则（）

A.81B.27C.32D.16

3、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知等差数列前项和为，公差为，则“有最大值”是“”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4、（石景山区2022-2023高二下学期期末）设是等差数列.下列结论中正确的是

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

5、（西城区2022-2023高二下学期期末）在等差数列中，若，，则当的前项和最大时，的值为（）

A.5B.6C.7D.8

6、（西城区2022-2023高二下学期期末）某钢厂的年产量由2023年的40万吨增加到2023年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2023年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（）

A.80万吨B.90万吨C.100万吨D.120万吨

7、（西城区2022-2023高二下学期期末）在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（）

A.6B.3C.4D.2

8、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）若、、成等差数列，则（）

A.B.C.D.

9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）若是等差数列的前项和，，则（）

A.B.

C.D.

10、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

11、（顺义区2022-2023高二下学期期末）数列是等差数列，若，则（）

A.B.5C.9D.15

12、（顺义区2022-2023高二下学期期末）已知为等比数列，下面结论中正确的是（）

A.若，则B.若，则

CD.

二、填空题

1、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知数列的首项，且，那么_______；数列的通项公式为__________.

2、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知各项均不为零数列，其前项和是，且．给出下列四个结论：

①；

②为递增数列；

③若，则的取值范围是；

④，使得当时，总有．

其中所有正确结论的序号是________．

3、（石景山区2022-2023高二下学期期末）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；②为等比数列；

③为递减数列；④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

4、（西城区2022-2023高二下学期期末）在等比数列中，若，，则________．

5、（西城区2022-2023高二下学期期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，．记．给出下列四个结论：

①可能为等差数列；

②中最大的项为；

③不存最大值；

④的最小值为36．

其中所有正确结论的序号是________．

6、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则__________.

三、解答题

1、（朝阳区2022-2023学年高二下学期期末）若有穷整数数列满足（），且各项均不相同，则称为数列．对数列，设，，则称数列为数列的导出数列．

（1）分别写出数列与的导出数列；

（2）是否存在数列使得其导出数列的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的数列；若不存在，说明理由；

（3）设数列与的导出数列分别为与，求证：的充分必要条件是．

2、（东城区2022-2023学年高二下学期期末）已知数列满足，.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列满足，.对任意的正整数，是否都存在正整数，使得？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

3、（海淀区2022-2023高二下学期期末）已知等差数列前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

4、（海淀区2022-2023高二下学期期末）给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．

（1）若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；

（2）求证：若，则有；

（3）若，常数使得恒成立，求的最大值．

5、（密云区2022-2023高二下学期期末）已知数列A：，，，，，满足，，数列A的前项和记为.

（1）写出的值；

（2）若，求的值；

（3）是否存在数列A，使得如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由.

6、（石景山区2022-2023高二下学期期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

7、（西城区2022-2023高二下学期期末）已知等比数列的公比，，且，的等差中项等于．

（1）求的通项公式；

（2）设，证明：数列为等差数列．

8、（西城区2022-2023高二下学期期末）设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．

（1）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明）

①等差数列：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…．

（2）已知数列具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；

（3）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．

9、（怀柔区2022-2023高二下学期期末）已知等差数列的的前项和为，从条件①条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：

（1）求的通项公式；

（2）若是等比数列，，求数列的前项和.

①；②；③

10、（顺义区2022-2023高二下学期期末）已知为等差数列，为其前项和．若，设．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

参考答案

一、选择题

1、D2、A3、B4、C5、A6、B

7、A8、A9、B10、D11、B12、D

二、填空题

1、4；2、①③④3、①③④4、5、③④

6、2

三、解答题

1、（1）的导出数列为，

导出数列为．

（2）不存在，理由如下：

设，

则，，，

，

，

．

因为，

所以是奇数，

是偶数，

是奇数，

是偶数，

是奇数．

因为共三个奇数，

所以是奇数．

所以不可能为0．

（3）必要性：

若，

则，

．

充分性：下面用反证法证明．

假设存，使得．

若，令．

若，令．

因为，

所以．

设中有项比小，则有项比大，

所以．

设中有项比小，则有项比大，

所以．

因为且，所以，

所以，矛盾．

所以．

2、（1）解：由数列满足，，

当时，可得；

当时，可得，

当时，可得.

（2）解：由数列满足，可得，

又由，可得，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，即数列的通项公式.

（3）解：存在正整数，使得.

由（2）可知，

又由，可得，

则，，，

归纳得，即，

证明：①当时，，符合题意，

②设当时，，

当时，，即，

这说明假设当时猜想正确，那么当时猜想也正确.

上述可知猜想正确，即.

又因为，

所以对任意的正整数，都存在正整数，使得.

3、（1）设等差首项和公差分别为，

由得，

所以；

（2）设等比首项和公差分别为，

若选①②，由得；

由得，

所以公比为，故，

故，

故；

若选②③，

由可知公比不为1，所以，

由得，

所以，

故，

故；

若选①③，由可知公比不为1，所以，

由得；

所以，

故，

故.

4、（1）解：根据题意，若数列为，

可得，即数列为：；

若数列为，

可得，即数列为：.

（2）证明：由题设条件知，若时，可得，

当且仅当时，等号成立，

所以，

所以当，则成立.

（3）解：不妨设，

若，因为，所以，此时显然取任意实数都满足条件；

下面设，则的充分必要条件时，

假设，

因为，所以，

当时，由，

所以，

当时，有，

仍然有成立，所以，

因为，所以，

所以，取，所以，

所以的最大值为.

5、（1）因为，，

所以，解得或，

当时，由，解得或，

当时，由，解得，

所以或或，

（2）当时，，则或，此时由知，不满足，舍去；

当时，，则或，满足，不满足，舍去；

当时，由，得或，由知满足题意，当时，不满足题意，

综上，或，或，

所以或或，

故.

（3）由，可得为整数，，

所以，

则，

所以，

若存在数列A，使得，则，

又为整数，所以方程无解，

故不存在数列A，使得.

6、（1）设等差数列的公差为，由，得，即，由，，成等比数列，得，即，又得，所以，，故数列的通项公式为．

（2）由，得，所以，

．

7、（1）由，的等差中项等于，得，

所以，即．

解得或（舍）．

由，得．

所以．

（2）因为，

所以，．

所以数列是首项为3，公差为的等差数列．

8、（1）由题意知，数列通项公式为，满足，所以数列具有性质；

数列中，代入，，所以不满足，所以数列不具有性质.

（2）由数列具有性质，得，

所以，即，

所以数列：，，，，，是等差数列．

又因为，，

所以数列的公差，

同理，得数列：，，，，，是等差数列，公差．

①若且，则数列的最小项是，数列的最小项是，

所以数列的最小项为1，这与矛盾；

②若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾；

③若且，则为递减数列，为递增数列．

由，得3为数列中的项，

所以只能是，且；

同理，可得0为数列中的项，

所以只能，．

此时，的通项公式为．

④若，，类似③的讨论可得，．

此时，的通项公式为．

综上，的通项公式为或

（3）由数列1，1，2，2，3，3，，，，，，，，不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且．

类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得．

所以的最小值大于或等于5．

以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”．

因为具有性质，即，

所以对于，是等差数列；

同理，由具有性质，得对于，是等差数列．

由，，，，，，为等差数列（记公差为），且，，，，，，为