九年级数学下册常考点微专题提分精练瓜豆小题(解析版)

专题19瓜豆小题.如图，线段AB为QO的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2，点P是QO上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使NDCP=60。，连接OD,则OD长的最大值为—2拒+1一【解答】解：如图，作ACOE,使得NCEO=90。NECO=60。，则CO=2CE,OE=2v3NOCP=NECD==CDP=90。，NDCP=60。.∙∙CP=2CDCOCPCECD=2.∙∙ACOPSACEDOPCPEDCD=2即ED=1OP=12（定长）,,点E是定点，DE是定长，点D在半径为1的OE上，,：0D^oE+DE=2√3+1.∙∙OD的最大值为2√3+1故答案为2<3+1.如图，NAOB=30。，OD=4,当点C在OA上运动时，作等腰RtACDE,CD=DE,则O,E两点间距离的最小值为—2+2√3A∙∙.C为主动点，£为从动点，。为定点,点。在上运动时，CD=DE,CDVDE,由“瓜豆原理”，。在上运动，则石在垂直。4的直线上运动,答圈过£作上时，。4于交.OB于N,则直线MN即为石的运动轨迹，OM的长为0,6两点间距离的最小值,`.-ZAOB=30o,OD=4,DCLOA,..CD=2,■：CD=DE,DE=2，∖'ZOCD=ZCDE=90°,..DEHOA，..ADEN=90o,ZEDN=30o,.∙.⅛MJEN中可得ON=U-，34λ∕3-.0N=4+-，3NoMN中可得（W=且x（4+拽）=2+2√5,2 3故答案为：2+2出\3.如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角NEFG，连接CG，则CG的最小值为—•五_.BEC【解答】解：如图1,过点G作GP1AB于点P,GQ1BC于点Q，连接BDBQEC圉1根据题意知，NABC=90°,NPGQ=90o.∙∙NPGF+NFGQ=NQGE+NFGQ=900.∙∙NPGF=NQGE又∙.∙NEFG是等腰直角三角形，且NFGE=900.∙∙GF=GE在AGPF与NGQE中，'NGPF=NGQE=90°

VNPGF=NQGE ,GF=GE:.NGPF=NGQE(AAS).∙∙GP=GQ,NGBP=NGBE=-NABC2•••点G在BD所在的直线上运动.∙.∙F为AB边上的一个动点，如图2,图工当点F与点B重合时，点G的位置如图所示.当点F与点A重合时，记点G的位置为G〃点G的运动轨迹为线段GG〃过点C作CG,1BD于点G,:.\CGI=CG=1BDmin 2■正方形ABCD的边长为2，∙∙.BD=2-‹2:.\CGI=22min故答案是：W4.如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP,以AP为边向AP右侧作等边三角形APB.当点P在OO上运动一周时，点B运动的路径长是—4π_.%A【解答】解：如图，连接AO、OP,将AO绕点A逆时针旋转60。,得线段AO',连接0,BOO'，-AO=AO',NOAO'=60°/.ΔOAO'为正三角形，-AAPS为正三角形，:.NPAB=60°,PA=BA:.NPAB-ZOAB=NOAO'-NOAB:.NPAO=ZBAO在ΔAPO与ΔABO,中，'AO=AO'VZPAO=ZBAO',、PA=BA.∙∙ΔAPO=ΔABO':.OP=OOB=2∙∙∙O0'即为动点B运动的路径，:当点P在OO上运动一周时，点B运动的路径长是4兀5.如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边ΔEFG，连接CG，则CG的最小值为5.A D【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，连接FH，过点H作HN1BC于NHM11AB于MA D∙.∙/ABC=90°:.四边形MHNB是矩形，.∙∙MH=BN∙.∙BE=2:EC=4•；AEHC是等边三角形，HN1EC:EC=EH=4,EN=NC=2,NHEC=60°:BN=4=MH∙.ZGE是等边三角形，:FE=GE，NFEG=60°=NHEC:.NFEH=NGEC在AFEH和AGEC中，Ief=geVNFEH=NGEC，HE=EC:.AFEH=AGEC(SAS):.FH=GC:.当FH1AB时，FH有最小值，即GC有最小值，.:点F与点M重合时，FH=HM=5故答案为5.6.如图，菱形ABCD的边长为4,NB=120°,E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF,将线段EF绕点F按逆时针旋转30°G为点E对应点，连接CG,则CG的最小值为一22_.A D一SEC【解答】解：如图取CD的中点K,连接FK,KG,EK,延长KG交BC于J,作CH1JK于HA 0rBEJC四边形ABCD是菱形，.∙∙NFCE=NFCK，CB=CD，AB//CD.∙∙NDCB+NB=180°∙;NB=120°:.NDCB=60°BBE=EC，CK=KD:.CK=CE「.AECK是等边三角形，∙.∙CF=CF，NFCK=NFCE，CK=CE:AFCK=AFCE(SAS):FK=FEFFG=FE:FE=FG=FK:NEKG=1NEFG=15°2∙.∙NCKE=60°:NCKJ=45°■:点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，在RtACKH中，∙.∙NCKH=45°，NCHK=90°，CK=1CD=22:CH=KH=五/.CG的最小值为√2故答案为五7.已知边长为6的等边AABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE,将线段BE绕点B逆时针旋转60。得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为3亘.2-【解答】解：连接CF■■等边AABC/AB=BC•线段BE绕点B逆时针旋转60。得到BF/BE=BF,NABE=NCBF/AABE=ABCF(A5A)F点在直线CF上运动，/CF=AE,NBCF=30。,,F点在直线CF上运动，当DF1CF时，DF最小，♦:CD=3373/CF=——23+3/AE=——2AAD=3∖∙3,DE=323故答案为".如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BQ相交于点O,AB=6,/ZMC=60。，点尸在线段AO上从点A至点O运动，连接DF,以DF为边作等边三角形DFE,点E和点A分别位于。F两侧，则点石运动的路程长是_2行_.；四边形ABCD是矩形，.∙.AO=DO,ZDAB=90°,∙,∙ZDAC=60°，.ΛDAO是等边三角形，.∙.DA=DO,ZADO=60°,•：ADFE是等边三角形，.∙.DE=DF,/EDF=60°,:./ADF=ZODE,5LAD=DO,DF=DE,:.AADF=AODE(SAS),.∙.OE=AF,/DOE=ZDAO,点石在射线OE上运动，且OE=AF,当点F在线段AO上从点A至点O运动时,点E的运动路程是AO,在RtAADB中，设AD=x，贝UBD=2X.∙.(2X)2一x2=62解得X=2”3(负值舍去)，.∙.AD=AO=2√3即点E的运动路程为2√3故答案为：2√3.如图，在RtAABC中，NACB=90。，AC=16,BC=12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A,连接CP,点M是CP的中点，则点M经过的路径长为_5兀_.【解答】解：∙.∙NACB=90。,AC=16,BC=12.∙∙AB=a；'aC2+BC2=Y162+122=20连接AP,BPAAB是直径，:.NAPB=90。即AP±BP取BC,AC的中点E和F，连接ME,MF,EF在ABPC中，MM,E为PC、BC的中点，.∙∙ME//BP,ME=-BP2在AAPC中，••点M、F为PC、AC的中点，.∙∙MF//APMMF=-AP2.∙∙ME1MF即NEMF=900二点M在以EF为直径的半圆上，.∙∙EF=-AB=102•・•点M的运动路径长为-X2πX5=5π2故答案为：5π.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转60°得到EGM连接CGM则CG的最小值为 5.2-【解答】解：将线段EB绕E顺时针旋转60o至M，连接GM，过C作CN1GM于N，过E作EP1CN于P，如图:∙.∙/BEM=NFEG=60°.∙∙NBEF=NMEG在ABEF和AMEG中，BE=ME/BEF=/MEGEF=EG.∙∙ABEF=AMEG(SAS).∙∙NGME=NB=900∙∙∙G在射线MG上运动，∙.∙GV1GM∙∙∙CN的长度即是CG的最小值，∙;CNLGM,EP1CN,NGME=90°.•・四边形MEPN为矩形，.∙∙NP=ME=BE=1RtAEPC中，EC=BC—BE=3,NPEC=180°—NBEM-ZMEP=30°13.∙∙CP=-CC=—22:.CN=CP+NP=52故答案为：2.如图，已知点4-3,0),B(0,3)，C(-1,4),动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且NCPM=90°,CP=MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为6.【解答】解：；点A(-3,0),B(0,3)∙∙.AB=3√2∙.∙C(-1,4),动点P在线段AB上，NCPM=90°,CP=MP∙∙∙CP-=亘，P为主动点，M为从动点，C为定点，CM2CP由“瓜豆原理”得P运动路径(AB)与M运动路径之比等于CP-CM•••点M运动的路径长为3√2÷匚=62故答案为：6.12.如图，在AABC中，NACB=90°，点D在BC边上，BC=5,CD=2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE,将DE绕点D顺时针方向旋转60°得至1」DF,连接BF,则BF的最小值为7.2—:BD=3AADHB是等边三角形，HN1BD3:DN=BN=一，DB=DH,NHDB=60°27:.CN=-2•・将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF:DE=DF,NEDF=60o:.NEDF=NHDB:NEDH=NFDB在ADHE和ADBF中,DE=DF/EDH=/FDBDH=DB:ADHE=ADBF(SAS):EH=BF:当EH有最小值时，BF有最小值,由垂线段最短可得：当EH1AC时，EH有最小值,此时，∙.∙EH1AC,NACB=900,HN1DB:四边形CNHE是矩形,- 7.∙.HE=CN=-2故答案为：2.如图，QO的直径AB=2,C为QO上动点，连结CB,将CB绕点C逆时针旋转90o得到CD，连结OD，则OD的最大值为√2+1【解答】解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE,BD将CB绕点C逆时针旋转90o得到CD:.BC=CD,NDCB=90°.∙∙NDBC=450,BD=QBC∙,∙ΔOBE是等腰直角三角形，:OE=BE,NOBE=450,OB=√2BE=1:BE=OE=—2∙.∙NDBC=NOBE:NOBD=NCBEDBOBCBBE.∙∙ΔDBOs∖CBEODDBCECB:OD=2CCE:当CE有最大值时，OD有最大值，当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+—2.∙∙OD的最大值为21+1故答案为：.如图，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,点E为对角线AC上一动点，BE±BF,BE4

=—，BF332BG1EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为一.5-【解答】解：如图，过点B作BP1AC于点P，连接PGBEAB£BF^BC-3^ABC=NEBF,.∙∙AABCSAEBF.∙∙NCAB=NFEBAPB=NEGB=90o:.AABPSAEBGABEB1PB^GB-sinNBACAC5NABP=NEBGBC~3:.NABE=NPBG:.AABESAPBG:.NBPG=NBAE即在点E的运动过程中，NBPG的大小不变且等于NBAC:.当CG1PG时，CG最小，设此时AE=xAEAB5——=——=-PGPB33:.PG=—X5∙.∙CG1PG.∙∙NPCG=NBPG=NBACCP5 =—,PG33代入PG=3x，解得CP=x518∙.∙CP=BC∙sinNCBP=BC∙sinNBAC=一518.∙.X=一5∙∙∙AE=1832∙CE=—5故答案为：325．二．解答题（共4小题）.如图，在等边AABC中，AB=6,BD1AC,垂足为D,点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点.当点M为BE中点，点N在边AC上，且DN=2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EP，连接FP，当NP+2MP最小时，直接写出ADPN的面积.AB C【解答】解：以M为顶点，MP为一边，作NPML=30。，ML交BD于点G,过点P作PH1ML于点H，设MP交BD于点K，如图，RtΔPMH中，HP=1MP

2.∙∙NP+1MP最小即NP+HP最小，此时N、P、H共线，2将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EP∙∙∙F在射线QF上运动，则点P在MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，NFEP=60。，则F、P轨迹的夹角NQKP=NFEP=60o.∙∙NBKM=60。∙.∙ZABD=30。.∙∙NBMK=90。，/PML=30。.∙∙NBML=60。∙∙∙NBML=NA:.ML//AC.∙∙NHNA=180。一NPHM=90。-BC1CC:NBDC=NHNA=NPHM=90。:四边形GHND为矩形，:DN=GH等边ΔABC中，AB=6，BD1AC:CD=3，∙.∙DN=2NC:等边ΔABC中，AB=6，点E为AB的中点，点M为BE中点， 3 ɪ一._..一.∙∙BM=—,BD=AB∙sinA=6Xsin60o=3%32RtΔBGM中，-1_ 3MG=bBM=-2 4BG=BM∙cos3003√—

~T~,:.MH=MG+GH=—,GD=BD-BG=9^-34 4…11v3RtΔMHP中，HP=MH∙tan30。=一12~ 4√3:PN=HN—HP=GD—HP=——3:SΔDPN1―― 4v3=—PN∙DN=--2316.若AC=4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP.(1)如图1,取点B，使ΔABC为等腰直角三角形，NBAC=90。，将点P绕点A顺时针旋转90。得到AP,.①点P'的轨迹是圆(填“线段”或者“圆”)；②CP的最小值是一；(2)如图2,以AP为边作等边ΔAPQ(点A、P、Q按照顺时针方向排列)，在点P运动过程中，求CQ的最大值.(3)如图3,将点A绕点P逆时针旋转90。，得到点M,连接PM,则CM的最小值为图1 图2 图3【解答】解：(1)①连接CP、BP',如图1所示：∙,∙ΔAB。是等腰直角三角形，NBAC=90。:AC=AB，由旋转的性质得：AP=AP',NPAP'=90。:NPAC=NP'AB∖AP'=AP在ΔABP'和ΔACP中，INPAAB=NPAC,AB=AC:.ΔABP^δACPP(SAS)∙∙∙BP'=CP=2，即点P'到点B的距离等于定长，・••点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②ΛABC是等腰直角三角形，AC=4∙∙.BC=√2AC=4√2当点P'在线段BC上时，CP'最小=BC-BP'=4√2^-2故答案为：4√2-2(2)以AC为边长作等边AACD，连接DQ、CP，如图2所示:∙.∙AAPQ和AACD是等边三角形，.∙∙AP=AQ，AC=AD=CD=4，NPAQ=NCAD=60o.∙∙NDAQ=NCAP[aD=AC在AADQ和AACP中，｛NDAQ=NCAP，、AQ=AP.∙∙AADQ=AACP(SAS).∙.DQ=CP=2当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值=CD+DQ=4+2=6(3)如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O贝UPM=PA=2，PM'=PA=4+2=6则CO,是梯形PMMP'的中位线，.•・CO'=2(2+6)=4连接MM'n则NMM"M'=90o.P'MM=PM=2,MMM=PPP=4:.MM'”=6-2=4=MM・•.△MMM"r是等腰直角三角形，：MM'=、/2MM"'=4<-2:O'M"=2v2:CM=CO'-O'M"=4-2√2故答案为：4-2V2图117.如图，0。的半径为2,O到定点A的距离为5,点B在OO上，点P是线段AB的中点，若B在。0上运动一周.(1)点P的运动路径是一个圆;(1)思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r.【解答】(1)解：连接OA、OB，取OAi的中点H，连接HP，如图1所示：则HP是AABO的中位线，.∙.HP=10B=12∙∙∙P点到H点的距离固定为1,.∙.B在。。上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆;(2)解：连接AO并延长AO交OO于点M、N，如图2所示：AABCC是等边三角形，点P是线段AB的中点，.∙.PC1AB,PA=PB=1AB=1BC2 2.∙.PC=3PPA=3AAB2当点B运动到点M位置时，点P运动到点Pt位置，PC最短，AAM=OA—OM=5—2=313.∙.APf=AM=—22.∙∙PC="2当点B运动到点N位置时，点P运动到点P"位置，PC最长，AAN=OA+ON=5+2=7.∙.AP“=1AN=722八7√3.∙.PC=-^―2.∙.PC长的取值范围是匹3WPCW7^32 2点C,连接BC，点P是抛物线上一动点.①②(1)求二次函数的表达式.(2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP,交直线BC于点Q,若AABQ的面积是KBPQ

面积的4倍，求点P的横坐标.(3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP,交线段BC于点M,以AM为斜边向KABM

外作等腰直角三角形AMN，连接BN,AABN的面积是否变化？如果不变，请求出AABN的

面积；如果变化,请说明理由．【解答】解：(1)二次函数经过A(-1,0),(3,0)...代入得［°=-(-1)2+b∙(T)+C,0=-32+3b+c解得［:=2,所以二次函数的表达式为