高等数学（下册）课件

高等数学下册营口地区成人高等教育QQ群54356621高等数学下册营口地区成人高等教育QQ群543566211多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。多元函数微分学

在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数—多元函数，也提出了多元微积分问题。营口地区成人高等教育QQ群54356621多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中2重点多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。难点复合函数求导，多元函数极值。函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。营口地区成人高等教育QQ群54356621重点多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函3（1）邻域（2）区域一、多元函数的概念营口地区成人高等教育QQ群54356621（1）邻域（2）区域一、多元函数的概念营口地区成人高等教育4例如，即为开集．营口地区成人高等教育QQ群54356621例如，即为开集．营口地区成人高等教育QQ群54356625例如，例如，连通的开集称为区域或开区域．营口地区成人高等教育QQ群54356621例如，例如，连通的开集称为区域或开区域．营口地区成人高等教育6有界闭区域；无界开区域．（3）聚点营口地区成人高等教育QQ群54356621有界闭区域；无界开区域．（3）聚点营口地区成人高等教育QQ7说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．营口地区成人高等教育QQ群54356621说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点；例(0,0)8（4）n维空间说明：n维空间的记号为

n维空间中两点间距离公式营口地区成人高等教育QQ群54356621（4）n维空间说明：n维空间的记号为n维空间中两点间9特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．

n维空间中邻域、区域等概念邻域：内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．设两点为营口地区成人高等教育QQ群54356621特殊地当10（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．营口地区成人高等教育QQ群54356621（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．营口地区11例1求的定义域．解所求定义域为营口地区成人高等教育QQ群54356621例1求12（6）二元函数的图形（如右图）二元函数的图形通常是一张曲面.营口地区成人高等教育QQ群54356621（6）二元函数的图13二、多元函数的极限营口地区成人高等教育QQ群54356621二、多元函数的极限营口地区成人高等教育QQ群54356614（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。——这是产生本质差异的根本原因。（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。说明：营口地区成人高等教育QQ群54356621（1）定义中的方式可能15证当时，原结论成立．例2求证营口地区成人高等教育QQ群54356621证当16例3求极限解其中营口地区成人高等教育QQ群54356621例3求极限解其中营口地区成人高等教育QQ群5417例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．营口地区成人高等教育QQ群54356621例4证明不18确定极限不存在的方法：营口地区成人高等教育QQ群54356621确定极限不存在的方法：营口地区成人高等教育QQ群543519利用点函数的形式有营口地区成人高等教育QQ群54356621利用点函数的形式有营口地区成人高等教育QQ群54356620例5讨论函数在(0,0)处的连续性．三、多元函数的连续性营口地区成人高等教育QQ群54356621例5讨论函数在(0,0)处的连续性．三、多元函数的连续性21解取当时故函数在(0,0)处连续.例6讨论函数在(0,0)的连续性．营口地区成人高等教育QQ群54356621解取当22解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．营口地区成人高等教育QQ群54356621解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不23（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．营口地区成人高等教育QQ群54356621（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果24多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质四、小结营口地区成人高等教育QQ群54356621多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元25思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题营口地区成人高等教育QQ群5435662126不能.例取但是不存在.原因为若取思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621不能.例取但是27练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群5435662128营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662129营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662130练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群5435662131复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则则复合函数对x的导数为这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元营口地区成人高等教育QQ群54356621复合函数求导法则先回忆一下一元复合函数的微分法则则复合函数32复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如它是由复合而成的由于f没有具体给出一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。营口地区成人高等教育QQ群54356621复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出33一、链式法则证营口地区成人高等教育QQ群54356621一、链式法则证营口地区成人高等教育QQ群5435662134营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662135上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：营口地区成人高等教育QQ群54356621上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导36链式法则如图示营口地区成人高等教育QQ群54356621链式法则如图示营口地区成人高等教育QQ群5435662137称为标准法则或这个公式的特征：⑴函数有两个自变量x和

y故法则中包含两个公式；营口地区成人高等教育QQ群54356621称为标准法则或这个公式的特征：⑴函数38⑵由于在复合过程中有两个中间变量u和

v故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘”营口地区成人高等教育QQ群54356621⑵由于在复合过程中有两个中间变量u和v故法则中39营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662140特殊地其中即令两者的区别区别类似营口地区成人高等教育QQ群54356621特殊地其中即令两者的区别区别类似营口地区成人高等教育QQ群41注此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形如则从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关营口地区成人高等教育QQ群54356621注此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情42关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式①用图示法表示出函数的复合关系②函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）营口地区成人高等教育QQ群54356621关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤43的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键③弄清仍是复合函数且复合结构与原来的f(u,v)完全相同即仍是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的复合函数因此求它们关于x,y的偏导数时必须使链式法则营口地区成人高等教育QQ群54356621

44在具体计算中最容易出错的地方是对再求偏导数这一步是与f(u,v)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是u的函数，从而导致漏掉原因就是不注意④求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量⑤注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导⑥的合并问题视题设条件营口地区成人高等教育QQ群54356621在具体计算中最容易出错的地方是对再求偏导数这一步45解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群5435662146解例3设均满足复合函数求偏导数的条件计算（两重复合问题）解由链式法则营口地区成人高等教育QQ群54356621解例3设均满足复合函数求偏导数的条件计算（两重复合问47故同理可得营口地区成人高等教育QQ群54356621故同理可得营口地区成人高等教育QQ群5435662148解令记同理有营口地区成人高等教育QQ群54356621解令记同理有营口地区成人高等教育QQ群5435662149于是二、全微分形式不变性营口地区成人高等教育QQ群54356621于是二、全微分形式不变性营口地区成人高等教育QQ群54350全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.营口地区成人高等教育QQ群54356621全微分形式不变形的实质：营口地区成人高等教育QQ群54351利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错营口地区成人高等教育QQ群54356621利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不52例5设各函数满足求导条件求解一变量间的关系如下图所示营口地区成人高等教育QQ群54356621例5设各函数满足求导条件求解一变量间的关系如下图所示53这里变量间的关系比较混乱用全微分来解由全微分定理注意到x,z是独立自变量解二营口地区成人高等教育QQ群54356621这里变量间的关系比较混乱用全微分来解由全微分定理注意到54由全微分定义注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故营口地区成人高等教育QQ群54356621由全微分定义注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故55三、小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性（理解其实质）营口地区成人高等教育QQ群54356621三、小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊56思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题营口地区成人高等教育QQ群5435662157思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答营口地区成人高等教育QQ群5435662158练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群5435662159营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662160营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662161练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群5435662162营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662163营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662164偏导数我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。营口地区成人高等教育QQ群54356621偏导数我们已经知道一元函数的65一、偏导数的定义及其计算法营口地区成人高等教育QQ群54356621一、偏导数的定义及其计算法营口地区成人高等教育QQ群5466营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662167营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662168偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求时把

y

视为常数而对x求导求时把x

视为常数而对

y

求导这仍然是一元函数求导问题营口地区成人高等教育QQ群54356621偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数69如在处偏导数的概念可以推广到二元以上函数营口地区成人高等教育QQ群54356621如在70一般地设营口地区成人高等教育QQ群54356621一般地设营口地区成人高等教育QQ群54356671解证营口地区成人高等教育QQ群54356621解证营口地区成人高等教育QQ群5435662172原结论成立．解营口地区成人高等教育QQ群54356621原结论成立．解营口地区成人高等教育QQ群5435662173不存在．营口地区成人高等教育QQ群54356621不存在．营口地区成人高等教育QQ群5435662174证营口地区成人高等教育QQ群54356621证营口地区成人高等教育QQ群5435662175有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；计算f

x(x0,y0)时可先将y=y0代入f(x,y)再对x求导然后代入x=x0

计算f

y(x0,y0)时同理解3、营口地区成人高等教育QQ群54356621有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要764、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-——重要的是区分清函数的类型——这是出错的主要原因。5、若f(x,y)=f(y,x)则称f(x,y)关于

x,y具有轮换对称性在求时只需将所求的中的x

,y互换即可营口地区成人高等教育QQ群543566214、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求776、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.营口地区成人高等教育QQ群543566216、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导787、偏导数的几何意义如图几何意义:营口地区成人高等教育QQ群543566217、偏导数的几何意义如图几何意义:营口地区成人高等教育QQ79二、高阶偏导数纯偏导营口地区成人高等教育QQ群54356621二、高阶偏导数纯偏导营口地区成人高等教育QQ群5435680混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.营口地区成人高等教育QQ群54356621混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.营口地81观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形营口地区成人高等教育QQ群54356621观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：原82解问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？营口地区成人高等教育QQ群54356621解问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？营口地区成83解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群5435662184营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662185三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数纯偏导混合偏导（相等的条件）思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的86思考题解答不能.例如,营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答不能.例如,营口地区成人高等教育QQ群543587练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群5435662188营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662189营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662190练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群5435662191营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662192营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662193全微分营口地区成人高等教育QQ群54356621全微分营口地区成人高等教育QQ群5435662194一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念营口地区成人高等教育QQ群54356621一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的95营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群5435662196全微分的定义营口地区成人高等教育QQ群54356621全微分的定义营口地区成人高等教育QQ群5435662197事实上二、可微的条件营口地区成人高等教育QQ群54356621事实上二、可微的条件营口地区成人高等教育QQ群5435698证总成立,营口地区成人高等教育QQ群54356621证总成立,营口地区成人高等教育QQ群5435662199同理可得一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如营口地区成人高等教育QQ群54356621同理可得一元函数在某点的导数存在100则当时营口地区成人高等教育QQ群54356621则当时营口地区成人高等教育QQ群101说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，证营口地区成人高等教育QQ群54356621说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全证营口地区成人高等教102（依偏导数的连续性）同理营口地区成人高等教育QQ群54356621（依偏导数的连续性）同理营口地区成人高等教育QQ群543103习惯上，记全微分为通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况．营口地区成人高等教育QQ群54356621习惯上，记全微分为通常我们把二元函数的全微分104解所求全微分营口地区成人高等教育QQ群54356621解所求全微分营口地区成人高等教育QQ群54356621105解解所求全微分营口地区成人高等教育QQ群54356621解解所求全微分营口地区成人高等教育QQ群54356621106证令则营口地区成人高等教育QQ群54356621证令则营口地区成人高等教育QQ群54356621107同理营口地区成人高等教育QQ群54356621同理营口地区成人高等教育QQ群54356621108不存在.营口地区成人高等教育QQ群54356621不存在.营口地区成人高等教育QQ群54356621109多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导营口地区成人高等教育QQ群54356621多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数110三、小结１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）营口地区成人高等教育QQ群54356621三、小结１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；111思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621112练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621113营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621114营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621115练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621116隐函数的求导法则一、一个方程的情形营口地区成人高等教育QQ群54356621隐函数的求导法则一、一个方程的情形营口地区成人高等教育QQ117解令则营口地区成人高等教育QQ群54356621解令则营口地区成人高等教育QQ群54356621118解令营口地区成人高等教育QQ群54356621解令营口地区成人高等教育QQ群54356621119则营口地区成人高等教育QQ群54356621则营口地区成人高等教育QQ群54356621120解令营口地区成人高等教育QQ群54356621解令营口地区成人高等教育QQ群54356621121则思路：营口地区成人高等教育QQ群54356621则思路：营口地区成人高等教育QQ群54356621122解令则整理得营口地区成人高等教育QQ群54356621解令则整理得营口地区成人高等教育QQ群54356621123整理得整理得营口地区成人高等教育QQ群54356621整理得整理得营口地区成人高等教育QQ群54356621124二、方程组的情形1、对于方程组怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当x给定以后相当于解含关于y,z的方程组如果有解且唯一则对于不同的x就完全确定了y,z故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)营口地区成人高等教育QQ群54356621二、方程组的情形1、对于方程组125若则怎样求两边对x

求导

注意左边是复合函数（三个中间变量），同理营口地区成人高等教育QQ群54356621若则怎样求两边对x求导注意左边是复合函数（三个1262、营口地区成人高等教育QQ群543566212、营口地区成人高等教育QQ群54356621127营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621128解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导并移项营口地区成人高等教育QQ群54356621解1直接代入公式；解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对129营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621130将所给方程的两边对y求导，用同样方法得注这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想营口地区成人高等教育QQ群54356621将所给方程的两边对y求导，用同样方法得注这组公式131关于隐函数求二阶偏导数以为例，主要有三种方法：①公式法类似地可求得②直接法方程两边连续求导两次营口地区成人高等教育QQ群54356621关于隐函数求二阶偏导数以为例，主要有三种方法：①公式法类似地132解得：两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`营口地区成人高等教育QQ群54356621解得：两种方法相比，法二较简便，因为133则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。③全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分营口地区成人高等教育QQ群54356621则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。③全微分法利用全微分形式134三、小结隐函数的求导法则（分以下几种情况）营口地区成人高等教育QQ群54356621三、小结隐函数的求导法则（分以下几种情况）营口地区成人高等教135思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621136思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621137练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621138营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621139营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621140练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621141营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621142多元函数极值一、多元函数的极值和最值营口地区成人高等教育QQ群54356621多元函数极值一、多元函数的极值和最值营口地区成人高等教育Q1431、二元函数极值的定义(1)营口地区成人高等教育QQ群543566211、二元函数极值的定义(1)营口地区成人高等教育QQ群5144(2)(3)2、多元函数取得极值的条件营口地区成人高等教育QQ群54356621(2)(3)2、多元函数取得极值的条件营口地区成人高等教育145证营口地区成人高等教育QQ群54356621证营口地区成人高等教育QQ群54356621146仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？营口地区成人高等教育QQ群54356621仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均147解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621148营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621149营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群543566211503、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是营口地区成人高等教育QQ群543566213、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以151在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）解如图,营口地区成人高等教育QQ群54356621在实际问题中，往往根据问题的性质就可152营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621153解由营口地区成人高等教育QQ群54356621解由营口地区成人高等教育QQ群54356621154无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值．营口地区成人高等教育QQ群54356621无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、155营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621156一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)其几何意义是其中点(x,y)在曲线L上营口地区成人高等教育QQ群54356621一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件157假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内且不同时为0f(x,y)可微确定了一个隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值故即又由隐函数的微分法知营口地区成人高等教育QQ群54356621假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,158代入上式令得P

(x0,y0)为条件极值点的必要条件为营口地区成人高等教育QQ群54356621代入上式令得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为营159xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.营口地区成人高等教育QQ群54356621xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.营口160营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621161例4求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz令营口地区成人高等教育QQ群54356621例4求内接于椭球162解得或两式相除同理即代入解得三式相加得营口地区成人高等教育QQ群54356621解得或两式相除同理即代入解得三式相加得营口地区成人高等教育163解二任意固定z0(0<z0<c)先在所有高为2z0的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆边平行于x,y轴的长方形当长方形的边长分别为（一元函数极值问题）营口地区成人高等教育QQ群54356621解二任意固定z0(0<z0<c)164长方形面积最大得到高为2z0的长方体中最大体积为V(z0)

最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求XYZ的最大值易知为立方体营口地区成人高等教育QQ群54356621长方形面积最大得到高为2z0的长方体中最大体积为V(165解解四即求的最大值而此三个正数的和一定（=1）当积最大营口地区成人高等教育QQ群54356621解解四即求的最大值而166营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621167营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621168即可得营口地区成人高等教育QQ群54356621即可得营口地区成人高等教育QQ群54356621169将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和其中a,b,c为给定的正数例6解令D为平面x+y+z=m在第一卦限的部分由于在D的边界上，总有u=0而在D内有u>0且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得另一方面由于u和lnu在D内有相同的极值点故问题转化为求lnu在条件x+y+z=m下的极值。营口地区成人高等教育QQ群54356621将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和其中170令则与x+y+z=m联立解得营口地区成人高等教育QQ群54356621令则与x+y+z=m联立解得营口地区成人高等171注若一元函数f(u)在区间I上严格单调增一般情形多元函数g(P)在区域D上有定义则f(u)与复合函数f[g(P)]有相同的极值点利用这一结论可将求f[g(P)]的驻点转化为f(u)的驻点或相反地将求f(u)的驻点转化为求f[g(P)]的驻点使问题简化——转移大法营口地区成人高等教育QQ群54356621注若一元函数f(u)在区间I上严格单调172四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621四、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函173思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621174练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621175营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621176练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621177二重积分的概念和性质在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。营口地区成人高等教育QQ群54356621二重积分的概念和性质在一元函数积分学中，我们已经178当人们把定积分解决问题的基本思想——“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。营口地区成人高等教育QQ群54356621当人们把定积分解决问题的基本思想——“分割、近似179重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。基本要求①理解重积分概念，了解其基本性质②熟练掌握重积分的计算方法③掌握累次积分的换序法④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元⑤理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。营口地区成人高等教育QQ群54356621重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。难点：选择坐标系，180一、问题的提出１．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体营口地区成人高等教育QQ群54356621一、问题的提出１．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平181求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．营口地区成人高等教育QQ群54356621求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如182步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积营口地区成人高等教育QQ群54356621步骤如下：用若干个小平先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲183２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量营口地区成人高等教育QQ群54356621２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近184二、二重积分的概念营口地区成人高等教育QQ群54356621二、二重积分的概念营口地区成人高等教育QQ群543566185积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素积分和营口地区成人高等教育QQ群54356621积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素积分和营口地区成人186对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．由二重积分的定义可知若二重积分存在营口地区成人高等教育QQ群54356621对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，187则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠D的边界的小区域的面积其中L为D的围长则面积元素为D营口地区成人高等教育QQ群54356621则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计188故二重积分可写为三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质１性质２营口地区成人高等教育QQ群54356621故二重积分可写为三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的189性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上则有特殊地性质６（二重积分估值不等式）营口地区成人高等教育QQ群54356621性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上190性质７（二重积分中值定理）解营口地区成人高等教育QQ群54356621性质７（二重积分中值定理）解营口地区成人高等教育QQ群5191解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621192解解营口地区成人高等教育QQ群54356621解解营口地区成人高等教育QQ群54356621193营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621194求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．营口地区成人高等教育QQ群54356621求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如195营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621196营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621197营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621198营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621199营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621200四、小结二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质（与定积分类似）思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.营口地区成人高等教育QQ群54356621四、小结二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶201思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极202练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621203营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621204营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621205如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.二重积分的计算法(1)一、利用直角坐标系计算二重积分营口地区成人高等教育QQ群54356621如果积分区域为：［X－型］其中函数、206应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得营口地区成人高等教育QQ群54356621应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得营口地区207如果积分区域为：［Y－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.营口地区成人高等教育QQ群54356621如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平208若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤①画域，②选序，③定限ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，营口地区成人高等教育QQ群54356621若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式209若是X—型，就先

y后

x若是Y—型，就先x后

y

，注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。解积分区域如图营口地区成人高等教育QQ群54356621若是X—型，就先y后x若是Y—型，就先x210解积分区域如图例3计算D解一D：X—型营口地区成人高等教育QQ群54356621解积分区域如图例3计算D解一D：X—型营口地区成人高等教211D解二DY—型例4计算营口地区成人高等教育QQ群54356621D解二DY—型例4计算营口地区成人高等教育QQ群54212解DY—型I=若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。2121营口地区成人高等教育QQ群54356621解DY—型I=若先y后x由于D的下213由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。例5计算解D是X—型区域要分部积分，不易计算营口地区成人高等教育QQ群54356621由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便214若先x后

y则须分片易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。解D营口地区成人高等教育QQ群54356621若先x后y则须分片易见尽管须分片积分，但由于被积215原式解营口地区成人高等教育QQ群54356621原式解营口地区成人高等教育QQ群54356621216解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621217解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621218解曲面围成的立体如图.营口地区成人高等教育QQ群54356621解曲面围成的立体如图.营口地区成人高等教育QQ群5435219例12计算解根据积分区域的特点14-12应先对x后对y积分但由于对x的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。营口地区成人高等教育QQ群54356621例12计算解根据积分区域的特点14-12应先对x220先

x

后y

有奇函数营口地区成人高等教育QQ群54356621先x后y有奇函数营口地区成人高等教育QQ群221化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。以上各例说明营口地区成人高等教育QQ群54356621化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要222二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（在积分中要正确选择积分次序）思考题营口地区成人高等教育QQ群54356621二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（223思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621224练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621225营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621226营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621227营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621228练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621229营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621230二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分营口地区成人高等教育QQ群54356621二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分营口地区成231二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图极点在区域之外区域特征如图营口地区成人高等教育QQ群54356621二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图区域特征如图营口232二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图（极点在D的边界上）注意内下限未必全为0二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图（极点在D的内部）营口地区成人高等教育QQ群54356621二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图（极点在D的边界233极坐标系下区域的面积解营口地区成人高等教育QQ群54356621极坐标系下区域的面积解营口地区成人高等教育QQ群5435234解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621235解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621236营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621237解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621238解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621239解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621240例7计算解营口地区成人高等教育QQ群54356621例7计算解营口地区成人高等教育QQ群54356621241营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621242思考题二、小结二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题二、小结二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用243思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答营口地区成人高等教育QQ群54356621244练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题营口地区成人高等教育QQ群54356621245营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621246营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621247练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621练习题答案营口地区成人高等教育QQ群54356621248营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621249无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。营口地区成人高等教育QQ群54356621无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认250重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier展开式；难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，Fourier展开，级数求和；基本要求①掌握级数敛散性概念和性质②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法③掌握交错级数的Leibniz审敛法营口地区成人高等教育QQ群54356621重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂251④掌握绝对收敛和条件收敛概念⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数⑥熟记五个基本初等函数的Taylor级数展开式及其收敛半径⑦掌握Fourier级数概念，会熟练地求出各种形式的Fourier系数⑧掌握奇、偶函数的Fourier级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数营口地区成人高等教育QQ群54356621④掌握绝对收敛和条件收敛概念⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛252一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积营口地区成人高等教育QQ群54356621一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面253二、级数的概念1.级数的定义:一般项(常数项)无穷级数级数的部分和部分和数列营口地区成人高等教育QQ群54356621二、级数的概念1.级数的定义:一般项(常数项)无穷级数级数2542.级数的收敛与发散:营口地区成人高等教育QQ群543566212.级数的收敛与发散:营口地区成人高等教育QQ群543255余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．营口地区成人高等教育QQ群54356621余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角256观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推营口地区成人高等教育QQ群54356621观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推营口地区成人高等教育Q257第次分叉：周长为面积为营口地区成人高等教育QQ群54356621第次分叉：周长为面积为营口地区成人高等教育QQ群258于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．营口地区成人高等教育QQ群54356621于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，259解

收敛

发散营口地区成人高等教育QQ群54356621解收敛发散营口地区成人高等教育QQ群54356621260

发散

发散

综上营口地区成人高等教育QQ群54356621发散发散综上营口地区成人高等教育QQ群543566261解营口地区成人高等教育QQ群54356621解营口地区成人高等教育QQ群54356621262三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.营口地区成人高等教育QQ群54356621三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,结论:263证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.营口地区成人高等教育QQ群54356621证明类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级264证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散营口地区成人高等教育QQ群54356621证明注意收敛级数去括弧