第4章-贪心算法课件

8:08上午第4章贪心算法110:46下午第4章贪心算法118:08上午第4章贪心算法

贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。贪心算法不从整体最优考虑，作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解.但对有些问题可以快速获得最优解。

在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。210:46下午第4章贪心算法 贪心算法总是作出在28:08上午第4章贪心算法本章主要知识点：4.1活动安排问题4.2贪心算法的基本要素4.3最优装载4.4哈夫曼编码4.5单源最短路径4.6最小生成树4.7多机调度问题4.8贪心算法的理论基础310:46下午第4章贪心算法本章主要知识点：338:08上午4.1活动安排问题

活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。410:46下午4.1活动安排问题活动安排问题就48:08上午4.1活动安排问题5

设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。

活动i占用区间[si,fi),活动j占用区间[sj,fj),

则活动i与活动j是相容的条件是si≥fj或sj≥fi。换句话说，就是后一个活动的开始时间不能在前一个活动结束之前。10:46下午4.1活动安排问题5设有n个活动的58:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间学术讲座A9:0012:00会议8:0010:00音乐欣赏20:0023:00论文答辩A8:0015:00论文答辩B11:0014:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00放映电影18:0021:00演讲比赛16:0018:00报告厅申请登记表xxxx年xx月xx日请给出安排方案要求：使报告厅安排的活动数最多10:46下午GreedyAlgorithmsCreat68:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间学术讲座A9:0012:00会议8:0010:00音乐欣赏20:0023:00论文答辩A8:0015:00论文答辩B11:0014:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00放映电影18:0021:00演讲比赛16:0018:00递增报告厅申请登记表xxxx年xx月xx日10:46下午GreedyAlgorithmsCreat78:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间学术讲座A9:0012:00会议8:0010:00音乐欣赏20:0023:00论文答辩A8:0015:00论文答辩B11:0014:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00放映电影18:0021:00演讲比赛16:0018:00123456789报告厅申请登记表xxxx年xx月xx日10:46下午GreedyAlgorithmsCreat88:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间会议8:0010:00学术讲座A9:0012:00论文答辩B11:0014:00论文答辩A8:0015:00论文答辩C12:0016:00学术讲座B15:0017:00演讲比赛16:0018:00放映电影18:0021:00音乐欣赏20:0023:00按结束时间递增排序后的表格10:46下午GreedyAlgorithmsCreat98:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolving活动名称开始时间结束时间activity18:0010:00activity29:0012:00activity311:0014:00activity48:0015:00activity512:0016:00activity615:0017:00activity716:0018:00activity818:0021:00activity920:0023:00按结束时间递增排序后的表格10:46下午GreedyAlgorithmsCreat108:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat118:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat128:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat138:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat148:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat158:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat168:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat178:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolvinga1a3a6a8a2a4a5a9a789101112131415161718192021222310:46下午GreedyAlgorithmsCreat188:08上午GreedyAlgorithmsCreative

Thinking&ProblemSolving问题描述n个需要排队使用某个公共资源的活动。S={a1,……,an}ai在半开区间[si,fi)使用资源，其中si=开始时间，fi=结束时间目标：安排最大可能的非重叠活动集合10:46下午GreedyAlgorithmsCreat19greedySelector:publicstaticintgreedySelector(int[]s,int[]f,booleana[]){;//n个活动按照结束时间从小到大排序后存放于s[],f[]中intn=s.length-1a[1]=true;intj=1;intcount=1;for(inti=2;i<=n;i++){if(s[i]>=f[j]){a[i]=true;j=i;

count++;}elsea[i]=false;}returncount;}

8:08上午Creative

Thinking&ProblemSolving复杂度:

(n)如果给定的活动没有事先按结束时间排序，需要先排序，这样整个算法的时间复杂性是？greedySelector:10:46下午Creati20214.2贪心算法的基本要素

对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢?

从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有2个重要的性质：

贪心选择性质 最优子结构性质。

214.2贪心算法的基本要素 对于一个具体的问题，218:08上午4.2贪心算法的基本要素1.贪心选择性质

贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题贪心算法通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。

对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。2210:46下午4.2贪心算法的基本要素1.贪心选择性质2228:08上午4.2贪心算法的基本要素2.最优子结构性质

当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。即此二种算法都要求问题具有最优子结构性质。2310:46下午4.2贪心算法的基本要素2.最优子结构性质238:08上午4.2贪心算法的基本要素3.贪心算法与动态规划算法的差异

贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法求解?

下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。2410:46下午4.2贪心算法的基本要素3.贪心算法与动态248:08上午4.2贪心算法的基本要素0-1背包问题：

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?25在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。10:46下午4.2贪心算法的基本要素0-1背包问题：258:08上午4.2贪心算法的基本要素背包问题：

与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。26

这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。

10:46下午4.2贪心算法的基本要素背包问题：26268:08上午4.2贪心算法的基本要素用贪心算法解背包问题的基本步骤：

首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。 具体算法可描述如下页：

2710:46下午4.2贪心算法的基本要素用贪心算法解背包问278:08上午4.2贪心算法的基本要素voidKnapsack(intn,floatM,floatv[],floatw[],floatx[]){Sort(n,v,w);inti;for(i=1;i<=n;i++)x[i]=0;floatc=M;for(i=1;i<=n;i++){if(w[i]>c)break;x[i]=1;c-=w[i];}if(i<=n)x[i]=c/w[i];}28

算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O（nlogn）。当然，为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。10:46下午4.2贪心算法的基本要素voidKnap288:08上午4.2贪心算法的基本要素

对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。 0-1背包举例：设背包的容量w=6，

(Wi，Vi)|(1，3),(3，6),(5，9)为三个物品重量和价值

按照贪心算法得最大价值=9，实际上可以得到12.实际在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。第三章使用动态规划方法解决了0-1背包。2910:46下午4.2贪心算法的基本要素 对于0-1背298:08上午4.3最优装载 有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。1.算法描述 最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体算法描述如下页。

3010:46下午4.3最优装载 有一批集装箱要装308:08上午4.3最优装载template<classType>voidLoading(intx[],Typew[],Typec,intn)//w数组按单位重量价值非递减排序。{Sort(w,n);for(inti=1;i<=n;i++)x[i]=0;for(inti=1;i<=n&&w[i]<=c;i++){x[i]=1;c-=w[i];}}3110:46下午4.3最优装载template<class318:08上午4.3最优装载2.贪心选择性质 设集装箱依其重量从小到大排序，（x1,x2,..xn)是其最优解，xi={0,1}，设xk是第一个等于1的。（1）如k=1，则满足贪心选择性质（2）如k≠1，用x1替换xk，构造的新解同原解最优值相同，故也是最优解。因此满足贪心选择性质。

3.最优子结构性质

最优装载问题具有最优子结构性质

T(1,n,w)=1+T(2,n,w-w1) 算法loading的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法所需的计算时间为O(nlogn)。

3210:46下午4.3最优装载2.贪心选择性质32328:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsASCII码Morse码定长变长4.4哈夫曼编码10:46下午CreativeThinking&Pr33abcdef0000010100111001018:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms看一个例子有一个100,000个字符的数据文件，字符集为：{a,b,c,d,e,f}总位数=3*100,000=300,000比特定长编码abcdef00000101001110010110:4634abcdef01000110118:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms若在100,000个字符的数据文件中，每个字符出现的频率分别为（每100个）：

a45,b13,c12,d16,e9,f5变长编码总位数=(1*45+1*13+2*12+2*16+2*9+2*5)*1000=142,000

比特节省空间>50%abcdef010001101110:46下午Creati358:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…例子10:46下午CreativeThinking&Pr368:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…a解码10:46下午CreativeThinking&Pr378:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…a解码10:46下午CreativeThinking&Pr388:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…ba看出问题了吗解码10:46下午CreativeThinking&Pr398:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…bad01解码10:46下午CreativeThinking&Pr408:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…bad解码10:46下午CreativeThinking&Pr418:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…bada?e?解码10:46下午CreativeThinking&Pr428:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsabcdef0100011011…0101100…bada?e?aaae如何解决解码时的二义性?

解码10:46下午CreativeThinking&Pr43abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…a解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4644abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…ax解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4645abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…axx解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4646abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…axxb解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4647abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…axxbx解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4648abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…axxbxx解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4649abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms新的变长编码有什么不同?…0101100…axxbxxc解码abcdef010110011111011100abcdef01011001111101110010:4650abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms前缀码

Prefixcode前缀码：给定一个序列的集合，若不存在一个序列是另一个序列的前缀，则该序列集合称为前缀码。abcdef01011001111101110010:4651abcdef01011001111101110045131216958:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms总位数=(1*45+3*13+3*12+3*16+4*9+4*5)*1000=224,000

比特25%abcdef01011001111101110045131252abcdef0000010100111001018:08上午GreedyAlgorithmsf:5e:9c:12b:13a:45d:16582886141410000000011111定长码xxx:xxx:xx+=xxxx定长编码二叉树abcdef00000101001110010110:4653abcdef0101100111110111008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9c:12b:13a:45d:16100010001111055302514前缀码xxx:xxx:xx+=xxxx哈夫曼编码二叉树abcdef01011001111101110010:46548:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsB(T)=∑c∈CdT(c)f(c)dt(c)叶子c在T中的深度f(c)c在文件中出现的频度C字符集B(T)平均比特数代价10:46下午CreativeThinking&Pr558:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms最优问题贪心算法

GreedyAlgorithm10:46下午CreativeThinking&Pr568:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms贪心算法

GreedyAlgorithm哈夫曼编码

Huffmancodes10:46下午CreativeThinking&Pr578:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9c:12b:13a:45min-priorityQueue按频率递增排序d:1610:46下午CreativeThinking&Pr588:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9c:12b:13a:45d:161410:46下午CreativeThinking&Pr598:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9c:12b:13a:45d:161410:46下午CreativeThinking&Pr608:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9c:12b:13a:45d:1614Newnode10:46下午CreativeThinking&Pr618:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12b:132510:46下午CreativeThinking&Pr628:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12b:132510:46下午CreativeThinking&Pr638:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12b:13253010:46下午CreativeThinking&Pr648:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12b:13253010:46下午CreativeThinking&Pr658:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12b:13253010:46下午CreativeThinking&Pr668:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12b:1325305510:46下午CreativeThinking&Pr678:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsf:5e:9a:45d:1614c:12boot000111010110:46下午CreativeThinking&Pr688:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsHuffman(C)n

︱C︱//C数组记录所有字符的发生频度QC/*min-priorityqueue*/

for

i

1to

n-1{allocateanewnodez

left[z]xExtract-Min(Q)

right[z]yExtract-Min(Q)

f[z]f[x]+f[y]Insert(Q,z)}

returnExtract-Min(Q)哈夫曼算法伪码返回树的root10:46下午CreativeThinking&Pr698:08上午Creative

Thinking&ProblemSolving设C为一字母表，其中每个字符c∈C

具有频率f[c]。设x和y为C中具有最低频率的两个字符，则存在C的一种最优前缀编码，其中x和y的编码长度相同但最后一位不同。证明方法:贪心选择性质bycxxycbxcybTT’T“10:46下午CreativeThinking&Pr70B(T)-B(T’)=…..=(f(b)-f(x))(dT(b)-dT(x))≥0B(T’)-B(T”)=…..=(f(c)-f(y))(dT’(c)-dT’(y))≥0由此推出B(T)≥B(T’)≥B(T”)因为T是最优解，因此只有B(T)=B(T”)成立也就是发生频率最低的两个字符在哈夫曼树的最低层，存在一种形式既是一个父节点的二个孩子节点。B(T)-B(T’)=…..718:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms设T为表示字母表C上的一种最优前缀编码的一棵满二叉树，对每个字符c∈C

定义有频率f[c]。考虑T中任意两个为兄弟叶节点的字符x和y，并设z为它们的父节点。那么，若认为z是一个频率为f[z]=f[x]+f[y]的字符的话，树T’=T-{x,y}就表示了字母表C’=C-{x,y}∪{z}上的一种最优前缀编码。证明:

推导可得:B(T)=B(T’)+f(x)+f(y)用反证法可以证明B(T’)一定是一个最优解最优子结构性质10:46下午CreativeThinking&Pr728:08上午4.5单源最短路径 给定带权有向图G=(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里路径的长度是指路径上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

1.算法基本思想 Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。7310:46下午4.5单源最短路径 给定带权有向图G=738:08上午4.5单源最短路径

基本思想:设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 初始时，S中仅含有源。从源只经过S中顶点到达u（S外）称为从源到u的特殊路径，用数组dist记录当前每个顶点的最短特殊路径长度。具有最短特殊路径长度值最小的为最短路径已知。每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。直到S包含了所有V中顶点.7410:46下午4.5单源最短路径 基本思想:设置顶点集合748:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE1031422879带有非负边权的图10:46下午CreativeThinking&Pr758:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingDijkstra

算法例子演示ABCDE1031422879初始化：0∞∞∞∞Q:ABCDEDist0∞∞∞∞S:

{}10:46下午CreativeThinking&Pr768:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790∞∞∞∞“A”

Extract-Min(Q):Q:ABCDEdist0∞∞∞∞S:

{A}10:46下午CreativeThinking&Pr778:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790103∞∞Q:ABCDEdist0∞∞∞∞S:

{A}10

3∞∞10:46下午CreativeThinking&Pr788:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790∞∞Q:ABCDE

0∞∞∞∞S:

{AC}10

3∞∞“C”

Extract-Min(Q):10310:46下午CreativeThinking&Pr798:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790115Q:ABCDE

0∞∞∞∞S:

{AC}10

3∞∞73

711

510:46下午CreativeThinking&Pr808:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790115Q:ABCDE

0∞∞∞∞S:

{ACE}10

3∞∞73

711

5“E”

Extract-Min(Q):10:46下午CreativeThinking&Pr818:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790115Q:ABCDE

0∞∞∞∞S:

{ACE}10

3∞∞73

711

510:46下午CreativeThinking&Pr828:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE10314228790115Q:A

B

CDE

0∞∞∞∞S:

{ACEB}10

3∞∞73

711

5“B”

Extract-Min(Q):

71110:46下午CreativeThinking&Pr838:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE1031422879095Q:A

B

CDE

0∞∞∞∞S:

{ACEB}10

3∞∞73

711

5

711910:46下午CreativeThinking&Pr848:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsDijkstra

算法例子演示ABCDE1031422879095Q:A

B

C

D

E

0∞∞∞∞S:

{ACEBD}10

3∞∞73

711

5

7119“D”

Extract-Min(Q):10:46下午CreativeThinking&Pr858:08上午4.5单源最短路径2.算法的正确性和计算复杂性(1)贪心选择性质(2)最优子结构性质(3)计算复杂性 对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要时间。算法的其余部分所需要时间不超过。8610:46下午4.5单源最短路径2.算法的正确性和计算复868:08上午4.6最小生成树

设G=(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。

8710:46下午4.6最小生成树 设G=(V,E)是878:08上午4.6最小生成树1.最小生成树性质

用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。Prim算法和Kruskal算法,这2个算法做贪心选择的方式不同，但它们都利用了最小生成树性质： 设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)E，且uU，vV-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这性质有时也称为MST(最小生成树）性质。

8810:46下午4.6最小生成树1.最小生成树性质88888:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms输入:一个连通非有向图G=(V,E)，其权函数为w:E→R.输出:

一个连接所有顶点且权值

最小的生成树(spanningtree)

T

：最小生成树

Minimumspanningtreesw(T)=∑(u,v)∈T

w(u,v)MST10:46下午CreativeThinking&Pr898:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms31461258107915MST例子G=(V,E)10:46下午CreativeThinking&Pr908:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms31461258107915MST例子MSTG=(V,E)10:46下午CreativeThinking&Pr918:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsMST对现实世界的抽象电信网络通信集成电路布线交通10:46下午CreativeThinking&Pr928:08上午交通Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms10:46下午交通CreativeThinking&938:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms电信10:46下午CreativeThinking&Pr948:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms电信10:46下午CreativeThinking&Pr958:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms最优子结构Optimal

Substructure10:46下午CreativeThinking&Pr968:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms最优子结构Optimal

SubstructureuvT1T210:46下午CreativeThinking&Pr978:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsuvT1T2w(T)=w(u,v)+w(T1)+w(T2)最优子结构证明10:46下午CreativeThinking&Pr988:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms最优子结构证明uvT1T2T=T1∪{(u,v)}∪T2T’=T1’∪{(u,v)}∪T2设

T1’比

T1更优∴

T

’<T矛盾设T是最优MSTCutandpaste10:46下午CreativeThinking&Pr998:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsuvT1T2w(T)=w(u,v)+w(T1)+w(T2)10:46下午CreativeThinking&Pr1008:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithms贪心选择性质重要局部最优即全局最优10:46下午CreativeThinking&Pr1018:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsuvw(T)=w(T1)+w(u,v)+w(T2)T1和T2连接的最短边证明：T1T210:46下午CreativeThinking&Pr1028:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsuvw(T)=w(T1)+w(u,v)+w(T2)证明：T1T2u’v’w(T’)=w(T1)+w(u’,v’)+w(T2)Cutandpaste10:46下午CreativeThinking&Pr1038:08上午Creative

Thinking&ProblemSolvingGreedyAlgorithmsuvT1T2开始节点选最短边10:46下午CreativeThinking&Pr1048:08上午4.6最小生成树2.Prim算法（选顶点加入集合S）

设G=(V,E)是连通带权图，V={1,2,…,n}。 构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足