2022-2023学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各组二次根式中，能进行合并的是()

A.与B.与C.与D.与

2.下列说法中正确的个数有()

想了解观众对某体育节目的喜爱程度，宜采用抽样调查；

某鞋店店主在进货时应关注销售鞋子尺码的平均数；

数据，，，，的众数是；

一组数据的波动越大，方差越小．

A.B.C.D.

3.下列计算正确的是()

A.B.

C.D.

4.在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位后恰好经过原点，则的值为()

A.B.C.D.

5.如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是()

A.，B.，

C.，D.，

6.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为()

A.B.C.D.

7.已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图形不经过第象限．()

A.一B.二C.三D.四

8.如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为()

A.B.C.D.

9.当时，一次函数的最大值为，则()

A.B.C.D.

10.如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于，连接，则的最小值为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.当______时，二次根式有最小值．

12.已知一组数据，，，，，则这组数据的方差是______．

13.对于任意的实数，，定义一种新运算：，若，则的值为______．

14.在平面直角坐标系中，已知，，作的垂直平分线交轴于点，则点坐标为______．

15.如图，函数与的图象交于点，则不等式的解集为______．

16.如图，，分别是正方形的边和的中点，，连接，，取的中点，连接，，下列结论：

；

；

；

四边形的面积为；

．

以上说法正确的有______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解方程：．

18.本小题分

如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，点为垂足，连接，求证：四边形是菱形．

19.本小题分

计算：；

；

20.本小题分

某学校两组学生参加知识竞赛，将他们的参赛成绩单位：分整理如下：

甲组：，，，，，，．

乙组：，，，，，，．

平均数中位数众数

甲组

乙组

分析数据，如图表：

表中的______，______，______；

请说明乙组学生数据的“中位数”的意义．

21.本小题分

如图，有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修建两条

互相垂直的小道，横向小道与竖向小道的宽比为：，余下矩形场地建成草坪，草坪的面积为平方米，请求出横向小道的宽．

22.本小题分

在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，已知．

求点的坐标；

点是轴上一点，且的面积为，求直线的解析式．

23.本小题分

已知：如图，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．

请判断的形状，并说明理由；

当为直角三角形时，求的值．

24.本小题分

如图，直线：分别与轴，轴交于，两点．

求直线的解析式；

若为点上方轴上的一动点，以为直角顶点，为腰在第二象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果有变化，请说明理由．

25.本小题分

如图，在中，，，点，分别是射线，射线上的动点，点在线段上，且，，设为．

当点运动到中点时，恰好，求的长度；

在的条件下，在点和点运动过程中，是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

连接，当点在运动时，有最小值为，求此时的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．，即与不能合并，故本选项不符合题意；

B.，即与不能合并，故本选项不符合题意；

C.，即与不能合并，故本选项不符合题意；

D.，即与能合并，故本选项符合题意；

故选：．

先根据二次根式的性质进行化简，再看看被开方数是否相同即可．

本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

2.【答案】

【解析】解：想了解观众对某体育节目的喜爱程度，宜采用抽样调查，原说法正确；

某鞋店店主在进货时应关注销售鞋子尺码的众数，原说法错误；

数据，，，，的众数是和，原说法错误；

一组数据的波动越大，方差越大，原说法错误．

故说法正确的有个．

故选：．

根据全面调查与抽样调查，平均数，众数，方差的意义求解即可．

本题考查了全面调查与抽样调查，平均数，众数，方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

3.【答案】

【解析】解：和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；

B.，故本选项不符合题意；

C.，故本选项符合题意；

D.，故本选项不符合题意；

故选：．

根据二次根式的加法和减法法则，二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．

本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

4.【答案】

【解析】解：平移后抛物线的解析式为，恰好经过原点，

将代入解析式可得，

．

故选：．

根据平移解析式的变化为“上加下减，左加右减”确定平移后的解析式，再将原点坐标代入即可求解．

本题考查了一次函数的图象与几何变换及一次函数的性质，熟记牢记平移的规律是解题的关键．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

根据平行四边形的判定方法即可判断．

【解答】

解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；

B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；

C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；

D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，

故选：．

6.【答案】

【解析】解：根据题意得，，

所以．

故选：．

利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

7.【答案】

【解析】解：方程无实数根，

，

解得，

当时，一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限．

故选：．

先根据根的判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质解决问题．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．

8.【答案】

【解析】解：平行四边形的周长为，

，

，，

，

，

，

的周长为，

故选：．

利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题．

本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．

9.【答案】

【解析】解：一次函数，

，

当时，函数值最大，

由题意可知：，

解得：．

故选：．

由一次函数的系数判断函数的增减性，可知当时，函数值最大，列出关于的等式，解之即可．

本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：连接，如下图所示：

四边形为正方形，且边长为，

，，，

，，

四边形是矩形，

，

要求的最小值，只需求出的最小值即可，

点在上，

根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，

当时，由于，

为等腰直角三角形，即：，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

舍去负值，

即的最小值为，

的最小值为．

故选：．

连接，先证四边形是矩形得，据此得要求的最小值，只需求出的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，然后中由勾股定理求出即可得到的最小值．

本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当时，线段为最短．

11.【答案】

【解析】解：二次根式的最小值是，

即，

解得：．

故答案为：．

根据二次根式的定义得出二次根式的最小值是，得出，再求出答案即可．

本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如的式子叫二次根式．

12.【答案】

【解析】解：这组数据的平均数为，

这组数据的方差是：．

故答案为：．

先根据计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可求出这组数据的方差．

此题考查了方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差

13.【答案】或

【解析】解：由题意可得，

整理得：，

配方得：，

即，

则，

解得：，，

故答案为：或．

根据新定义列得一元二次方程，解方程即可．

本题考查新定义及解一元二次方程，由新定义列得一元二次方程是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：连接，

设，

，，

，，

垂直平分，

，

，

，

，

，

的坐标是．

故答案为：．

连接，设，由，，得到，，由垂直平分，得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的坐标是．

本题考查线段垂直平分的性质，勾股定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理列出关于的方程．

15.【答案】

【解析】解：一次函数的图象经过点，

，

，即，

由图可得，不等式的解集为．

故答案为：．

先求得点的横坐标，再写出直线落在直线的上方时所对应的自变量的范围即可．

本题考查了一次函数与一元一次不等式，求得点的坐标是解决问题的关键．

16.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，

，，

，分别是正方形的边和的中点，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

，故正确；

，，，

，

，

，

是的中点，

，故错误；

由勾股定理得：，

，

，

，

，

，故错误；

由勾股定理得：，

四边形的面积

；

故错误；

，是的中点，

，，

，故正确；

故答案为：．

根据正方形的性质证明≌可判断正确；根据直角三角形斜边中线的性质可判断和；根据勾股定理和面积法可计算可判断，根据两个三角形的面积和可判断．

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

17.【答案】解：由原方程，得，

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得，

配方，得，

直接开平方，得，

，．

【解析】本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：先化二次项系数为，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．

形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．

按照配方法解一元二次方程的步骤进行解答即可．

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，

，

垂直平分，

，

在和中，

，

≌，

，

四边形是平行四边形，

，

平行四边形是菱形．

【解析】由线段垂直平分线的性质得，，再证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

19.【答案】解：

；

．

【解析】根据二次根式的除法法则进行计算即可；

先根据二次根式的性质和乘法公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．

本题考查了二次根式的混合运算和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20.【答案】、

【解析】解：由题意得，平均数，

把甲组数据从小到大排列，排在中间的数是，故中位数，

乙组数据中，和出现的次数最多，故众数是和，即、．

故答案为：，，、；

乙组学生数据的“中位数”的意义：有个人的成绩小于或等于，有个的成绩大于或等于．

分别根据算术平均数的定义，中位数的定义以及众数的定义解答即可；

根据中位数的意义解答即可．

此题考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．

21.【答案】解：设横向小道的宽为米，则竖向小道的宽为米，

由题意，得．

解得，舍去．

则．

答：横向小道的宽为米．

【解析】设横向小道的宽为米，则竖向小道的宽为米，根草坪面积列出方程并解答．

本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．

22.【答案】解：，

，

；

设，

则：，

解得：或，

设直线的解析式：，

当时，有，

解得：，

直线的解析式：，

当时，有，

解得：，

直线的解析式：．

【解析】根据勾股定理求解；

先根据三角形的面积公式求出的坐标，再利用待定系数法求解．

本题考查了待定系数法的应用，掌握勾股定理及分类讨论思想是解题的关键．

23.【答案】解：是直角三角形，

理由：，，，

，

，

是直角三角形．

由题意知．

当时，如图，

点与点重合，，

；

当时，如图，

，．

在中，，

在中，，

因此，

解得．

综上所述，当为直角三角形时，的值为或．

【解析】利用勾股定理的逆定理判断即可．

先求出，再分当，当两种情况，利用勾股定理求解即可得．

本题属于三角形综合题，考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：将代入，

，

解得，

直线的解析式为；

点的位置不发生改变，理由如下：

当时，，

，

设，

过点作轴交于点，

，

，

，

，

，

≌，

，，