人教版2023年九年级上册21.2 解一元二次方程 同步练习（含解析）

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人教版2023年九年级上册21.2解一元二次方程精选同步练习

一、选择题

1．一元二次方程配方后可化为（）

A．B．

C．D．

2．方程的解是（）

A．B．C．，D．，

3．若分式的值为零，则x的值是（）

A．B．3C．2D．3或

4．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（）

A．B．C．且D．且

5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）

A．B．

C．D．

6．利用公式法求解可得一元二次方程式的两解为、，且，求a值为何（）

A．B．C．D．

7．，是方程的两实数根，则代数式的值为（）

A．1B．2C．3D．0

8．若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（）

A．20B．24C．20或24D．48

9．一元二次方程的两根为，则的值为（）

A．B．C．3D．

10．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（）

A．4对B．6对C．8对D．无数对

二、填空题

11．一元二次方程的根的情况是．

12．将配方成形式，则．

13．关于x的一元二次方程的解的解为．

14．方程的判别式Δ＝．

15．对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为．

16．已知关于的方程的两个根为，，则．

三、解答题

17．按要求解方程

(1)（直接开平方法）；

(2)（配方法）；

(3)（公式法）

(4)（因式分解法）

(5)（换元法）

18．解下列方程：

(1)；

(2)．

19．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；

(2)若是方程的两根，且，求的值．

20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．

(1)求的取值范围；

(2)当时，求另一个根的值．

21．已知关于的方程．

(1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根；

(2)若等腰的底边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长．

22．阅读材料：

材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则．

材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．

解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，

∴，，

则．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_________，_________．

(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，求的值．

(3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的值．

参考答案

1．B

【分析】方程变形后，利用完全平方公式化简即可得到答案．

【详解】解：，

,

,

,

故选：B．

【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

2．C

【分析】移项后利用因式分解法求解即可．

【详解】解：移项得：，

因式分解得：，

所以或，

∴，

∴，，

故选：C．

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键．

3．B

【分析】根据分式值为0的条件得出，分别求解即可得出结论．

【详解】解：分式的值为零，

，

由①得或，

由②得且，

综上所述，x的值是

故选：B．

【点睛】本题考查分式值为零的条件，解出相关方程与不等式准确得出结论是解决问题的关键．

4．C

【分析】由关于的一元二次方程有实数根，知且，解之即可．

【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，

且，

解得且，

故选：C．

【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．

5．C

【分析】逐项分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．

【详解】解：A.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意；

B.在中，，所以该方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意；

C.在中，，所以该方程有两个相等的实数根，故C符合题意；

D.将整理得：，，所以该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．

6．D

【分析】利用公式法即可求解．

【详解】解：，

这里，，，

△，

，

一元二次方程式的两解为、，且，

的值为．

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．

7．D

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，将代数式化简，然后代入即可求解．

【详解】解：∵，是方程的两实数根，

∴，

∴

，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

8．B

【分析】解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长．

【详解】解：如图所示：

∵四边形是菱形，

∴，

∵，

因式分解得：，

解得：或，

分两种情况：

①当时，，不能构成三角形；

②当时，，能构成三角形，

∴菱形的周长．

故选：B．

【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．

9．C

【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．

【详解】解：∵一元二次方程的两根为，

∴，

∴

．

故选C．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．

10．C

【分析】先化简可得，设，则；然后求得a的值，最后列举出符合题意的，的整数值即可解答．

【详解】解：由，设，则，

∴，即，解得：或（舍弃），

∴．

∴满足条件的，的整数值有：

，，，，，，，，共8对．

故选C．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解是解答本题的关键．

11．无实数根

【分析】根据根的判别式，可知一元二次方程无实数根．

【详解】∵一元二次方程

∴

∴方程无实数根．

故答案为：无实数根．

【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．

12．

【分析】先将常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．

【详解】解：，

∴，

∴，

即，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了用配方法解方程，掌握配方法是解题的关键．

13．，

【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴或，

解得，，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

14．4

【分析】根据根的判别式△计算即可．

【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，

．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．注意判别式△中的字母所表示的意义．

15．0

【分析】由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题．

【详解】解：由，得，

即，

∵关于x的方程有两个相等的实数根，

∴，

∴，

解得．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题．

16．3

【分析】根据根与系数的关系得到，，代入计算即可得出结论．

【详解】解：∵方程的两个根为，，

∴，，

∴，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出，．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，只需能熟练的运用根与系数的关系即可．

17．(1)，

(2)，

(3)，

(4)或

(5)，

【分析】（1）先移项，变成，然后直接开平方；

（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；

（3）找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；

（4）将方程整理为，然后通过提取公因式进行因式分解，再求解即可；

（5）先令，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，再把和3分别代入得到关于的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．

【详解】（1）解：，

，

，

，

∴，；

（2），

，

，

，

，

∴，；

（3），

，，，

，

∴，

∴，；

（4），

，

，

，

，

∴或，

∴或；

（5），

令，则原方程变形为，

即：，

解得：，，

当时，，解得：，

当时，，解得：，

∴原方程的解为：，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．

18．(1)，

(2)，

【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．

【详解】（1）解：．

．

或．

，．

（2），

，，．

．

．

，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)的值为或

【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可；

（2）由一元二次方程根与系数的关系得到，由得到，从而得到或，分情况进行讨论即可得到答案．

【详解】（1）证明：，

无论取何值，方程总有实数根；

（2）解：是方程的两根，

，

，

，

或，

当时，，

解得：，

当时，即，

，

解得：，

综上所述：的值为或．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；一元二次方程的根与系数的关系为：，．

20．(1)的取值范围是；

(2)另一个根的值是．

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案．

【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，

∴，

解得：，

∴的取值范围是；

（2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，

∴，

∵，

∴，

∴另一个根的值是．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)5

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论取何值，这个方程总有实数根；

（2）根据等腰三角形的性质可得，则该方程有两个相等实数根，求出m的值，再根据三角形的三边关系及三角形的周长公式即可求出的周长．

【详解】（1）证明：，

无论取何值，这个方程总有实数根；

（2）解：∵等腰的底边长，

∴，

∵、恰好是这个方程的两个根，

∴该方程的根有两个相等实数根，

∴

解得：，

原方程为，

解得：．

、2、1能组成三角形，

该三角形的周长为．

【点睛】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

22．(1)，

(2)

(3)

【