山西省长治市私立启智中学2021年高三数学文模拟试题含解析

山西省长治市私立启智中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数，（i为虚数单位），若为纯虚数，则a=（）A.－2 B.2 C. D.参考答案：C【分析】把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知直线为函数图象的切线,若与函数的图象相切于点,则实数必定满足（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C3.如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A略4.设是函数图象上的点，则的最小值为

A．2

B．

C．4

D．4参考答案：B略5.已知复数，则

等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B6.如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.是函数的零点,,则① ② ③ ④其中正确的命题为 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④参考答案：B略8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象(

) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，通过函数图象经过的特殊点求出φ，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解答： 解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4×（﹣）=π，所以ω==2，因为函数的图象经过（，0），所以：sin（2×+φ）=kπ，k∈Z，可解得：φ=kπ﹣，k∈Z由于：|φ|＜，可得：φ=，所以：f（x）=sin（2x+）=cos=cos2（x﹣），g（x）=cos2x，所以，要得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象向左平移个单位长度即可．故选：B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．9.将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数，将函数向上平移1个单位得到函数为，选C.10.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A．关于点，对称 B．关于直线对称 C．关于点，对称 D．关于直线对称参考答案：B解：，，；，其对称中心为：，，，故，不符合；其对称轴方程由得：，，当时，就是它的一条对称轴，故选：．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设、满足约束条件目标函数的最大值等于

．参考答案：试题分析：根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，经过分析，可知该题中所求的最优解为，所以目标函数的最大值为.考点：线性规划.12.整数数列满足，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2014项的和为

.参考答案：987

13.设[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x｜[x]2﹣2[x]=3}，B={x｜2x＞8}，则A∩B=

．参考答案：?【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的值确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由[x]2﹣2[x]=3，解得：[x]=3或[x]=﹣1，故2＜x≤3或﹣2＜x≤﹣1，∴A=（2，3]∪（﹣2，﹣1]，而B={x｜2x＞8}={x｜x＞3}，故A∩B=?．故答案为：?．14.边长为2的等边△ABC的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O的表面积为，则三棱锥O-ABC的体积为

．参考答案：设球半径为，则，解得．设所在平面截球所得的小圆的半径为，则．故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以．答案：

15.已知椭圆的半焦距为C，（C＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据四边形ABFC是菱形得到B的横坐标为（a﹣c），代入抛物线方程求出B的纵坐标为b，因此将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的左焦点为F，右顶点为A，∴A（a，0），F（﹣c，0）∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴m=（a﹣c）将B（m，n）代入抛物线方程，得n2=（a+c）（a﹣c）=b2∴B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程，得化简整理，得4e2﹣8e+3=0，解之得e=（e=＞1不符合题意，舍去）故答案为：．【点评】本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形ABFC，求椭圆的离心率e，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．16.函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，

，数列的通项公式为

．参考答案：5，略17.若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：①；

②； ③； ④其中为函数的序号是

。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案：②③①若，则由得，即，所以，显然不恒成立。②若，由得由恒成立，所以②为函数。③若，由得，当时，有，，此时成立，所以③为函数。④若，由得由，即，即，要使恒成立，则有，即。但此时，所以不存在，所以④不是函数。所以为函数的序号为②③。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（2）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【解答】解：（1）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从理学院中抽出（等价于文学院中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列：X123P和数学期望EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在[0，π]上的增减性；（2）由（Ⅰ）的单调性，设，推导F（x）的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f（x）的导数为f′（x）=2﹣2ax﹣bsinx，可得??，所以，①当时，1﹣x≥0，1﹣sinx≥0，可得f′（x）＞0，所以f（x）在为增函数；②当时，，所以f（x）在为减函数；（2）由（1）得f（x）在为增函数，在上为减函数，所以，由f'（x）在恒为负，，设，则，所以F'（x）＞0，所以F（x）在递增，，当时，f（x）＜f（π﹣x），所以f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x2）=f（x1），所以，又f（x）在上为减函数，所以x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，所以，所以．20.(14分)已知函数,（x>0）．（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb](m≠0),求m的取值范围．参考答案：解析：（I）∵x>0，∴∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得0<a1<b和．即．∴2ab=a+b>．……3分故，即ab>1．……4分

（II）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，则a>0．

①

当时，在（0，1）上为减函数．故

即

解得

a=b．故此时不存在适合条件的实数a，b．………………6分②

当时，在上是增函数．故

即

此时a，b是方程的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．………………8分③

当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………10分（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

则a>0，m>0．①

当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．②

当或时，由（II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

故只有．∵在上是增函数，

∴

即

a，

b是方程的两个根．即关于x的方程有两个大于1的实根．……12分设这两个根为，．则+=，·=．∴

即

解得

．

故m的取值范围是．…………14分21.（12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D-1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.

参考答案：解析：解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影

∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，

于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.

∴D1E⊥AFDE⊥AF.

∵ABCD是正方形，E是BC的中点.

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.…………6分（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD.连结AC，

设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是

C1H在底面ABCD内的射影.

C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.

在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，

∴tan∠C1HC=.

∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=.

故二面角C1—EF—A的大小为.

解法