高中数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修

第四章圆与方程第二节直线、圆的位置关系直线与圆的方程的应用第四章圆与方程11.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过__________,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 注意:______________方法的灵活运用.

建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会31.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)4题型一数形结合思想方法的应用例1:(1)方程表示的曲线是什么?(2)若方程有解,求实数b的取值范围.解:(1)等价于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x轴上方的半圆(包括两个端点).题型一数形结合思想方法的应用5

(2)方程有解,即半圆与直线y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3时,方程有解.(2)方程6变式训练1若直线与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1变式训练1若直线与圆x2+7答案:D答案:D8题型二用坐标法求圆的方程例2:如下图所示,点M是弓形弧的中点,弦|OA|=8,弓形的高为2m,求此弧所在圆的方程.分析:只需要求圆心坐标及半径即可.题型二用坐标法求圆的方程9解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上解得:b=-3,r2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,10

规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建立的坐标系不同,所求得的方程不同.规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角11变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM､PN(M,N分别为切点),使得,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=412解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建13由已知得PM2=2PN2,因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.由已知14题型三与圆有关的综合问题例3:已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO内切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从△ABO内切圆的方程入手.题型三与圆有关的综合问题15解:如下图,建立直角坐标系,使A､B､O三点的坐标分别为A(4,0)､B(0,3)､O(0,0).解:如下图,建立直角坐标系,使A､B､O三点的坐标分别为16易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).故内切圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化简为x2+y2-2x-2y+1=0,①设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).17由①可知x2+y2-2y=2x-1,将其代入②有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18,三个圆面积之和为∴所求面积的最大值为最小值为由①可知x2+y2-2y=2x-1,18

规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问题,将几何问题转化为代数问题.规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问19

变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的20解:如图所示:解:如图所示:21以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离而r=3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐22易错探究例4:已知圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的位置关系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.∵Δ=100-4×25=0,∴两圆只有一个公共点,故两圆相切.易错探究23错因分析:两圆方程联立,Δ=0说明两圆只有一个公共点,此时两圆有可能外切,也有可能内切.正解:把两圆的方程分别配方,化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,∴两圆心坐标C1(-1,-1),C2(3,-4),半径r1=1,r2=4.∴圆心距|C1C2|==5=r1+r2.∴两圆相外切.错因分析:两圆方程联立,Δ=0说明两圆只有一个公共点,此时两24技能演练基础强化1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在解析:直线与圆相切,则∴a2+b2=c2.答案:B技能演练基础强化252.已知点A､B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则A､B两点之间的最短距离为()解析:两圆心之间的距离为∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为答案:C2.已知点A､B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)263.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是()A.都是两个点B.一条直线和一个圆C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)227解析:x(x2+y2-1)=0x=0或x2+y2-1=0,则它表示一条直线x=0和一个圆x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0(x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示两个圆.因此,选C.答案:C解析:x(x2+y2-1)=0x=0或x2+y284.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()解析:设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(-2,0)到直线y=kx的距离为1,∴又∵切点在第三象限,∴答案:C4.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第295.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P､Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为()解析:∵∠POQ=120°,∴点O到直线y=kx+1的距离又答案:A5.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P､Q两点306.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是___________________.解析:半径则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(x-1)2+(y-1)2=26.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是__317.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为_____________________.解析:当两圆内切时有=4,∴a=0.当两圆外切时,有∴a=±7.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切328.与圆x2+y2=4切于点的切线方程为__________.解析:圆心(0,0),∴切线的斜率又切点为∴切线方程为即8.与圆x2+y2=4切于点的切33能力提升9.已知圆C:(x-2)2+y2=2.(1)求与圆C相切,且在x轴､y轴上截距相等的直线方程;(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.能力提升34解:(1)设横､纵截距相等的切线方程为kx-y=0,与x+y+c=0,则与解得k=±1,c=-4或c=0.故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得化简得点P的轨迹为直线要使|PM|最小,即要使|PO|最小,过O作直线的垂线.∴垂足是所要求的点.解:(1)设横､纵截距相等的切线方程为3510.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的最值;(2)求y-x的最值;(3)求x2+y2的最值.解:(1)∵圆的标准方程为(x-2)2+y2=3,其圆心为(2,0),半径为 设即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值.此时解得k=±∴的最大值为最小值为10.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,36

(2)设y-x=b,即y=x+