高等数学下册复习题模拟试卷和答案

高等数学下册复习题模拟试卷和答案高等数学试卷A一．填空题（每空3分，共21分）1、以点A（2，-1，-2）、B(0，2，1)、C(2，3，0)为顶点，做平行四边形ABCD，此平行四边形的面积等于（请自行计算）。2．已知函数z=ex^2+y^2，则dz=2ex^2+y^2dx+2yex^2+y^2dy。3．2ds=∫(1,-1,x+y=1)√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)dxdy，其中z=√(1+x^2+y^2)。4．设L为上点到x^2+y^2=4的上半弧段，则∫L(y^2-x^2)ds=-4/3∫π/2^0(cos^3θ-sin^3θ)dθ。5．交换积分顺序∫0^1dx∫x^2^√(1-x^2)dy=∫0^1y∫y^2^1√(1-x^2)dxdy。6．级数∑(n=1)∞(n/(n^2+1)^2)是绝对收敛。7．微分方程y'=sinx的通解为y=-cosx+C。二．选择题（每空3分，共15分）1．函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分存在是f(x,y)在该点连续的充分必要条件。2．平面π1:x+2y+z+1=0与π2:2x+y-z+2=0的夹角为arccos(3/√42)。3．幂级数∑n=1∞(x-5)^n/n^3的收敛域为[4,6)。4．设y1(x),y2(x)是微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两特解且y2(x)≠cy1(x)，则通解为y=c1y1(x)+c2y2(x)。5．Ω在直角坐标系下化为三次积分∫0^3dx∫0^3dy∫0^(3-x)zdz。三．计算下列各题（共21分，每题7分）1、已知∂z/∂x=1/(xlnz+ye^(-xy))，∂z/∂y=x^(-1)/(lnz-xye^(-xy))，求通过点(1,-2,3)且平行于向量(1,3,2)的直线方程。2、求过点(1,-2,3)且平行于直线x-1=y+2=z/3的平面方程。3、利用极坐标计算∬D(2x+2y)dA，其中D为第一象限的区域。1.利用格林公式计算曲线积分，其中L为圆域D：x^2+y^2≤4的边界曲线，取逆时针方向。解：根据格林公式，有∮LPdx+Qdy=∬D(Qx-Py)dxdy其中P=2x^2(y+e),Q=2xy+5x+siny。因为D为圆域，可以使用极坐标系，即x=r*cosθ,y=r*sinθ。则有Qx-Py=(2r*cosθ)(2r*sinθ+5r*cosθ+sinθ)-2r^2*cosθ*(sinθ+e)=r(4sinθcosθ+10cos^2θ+sinθcosθ-2sinθe)因为L取逆时针方向，所以θ的范围为0到2π。因此，曲线积分可以化为二重积分，即∮LPdx+Qdy=∬D(Qx-Py)dxdy=∫0^2π∫0^2(4sinθcosθ+10cos^2θ+sinθcosθ-2sinθe)rdrdθ=-4π所以，曲线积分的值为-4π。2.判别下列级数的敛散性：(1)∑(-1)^(n-1)/(n^2)(2)∑n^3/(3^n)解：(1)根据莱布尼茨判别法，该级数为交替级数，且每一项的绝对值单调递减趋于0，因此该级数收敛。(2)根据比值判别法，有lim(n+1)^3/(3^(n+1))*3^n/n^3=lim(n+1)^3/27n^3=1/27因为该极限小于1，所以级数收敛。3.求解下列各题：(1)求函数f(x,y)=x^3-y^2-3x+3y+1的极值。解：求偏导数得fx=3x^2-3,fy=-2+3=1令fx=fy=0，解得x=±1，y=1。又因为fxx=6x=±6，fyy=2>0，fxy=0，因此当x=-1时，f(x,y)取极大值；当x=1时，f(x,y)取极小值。(2)求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解。解：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，先求其齐次方程dy/dx+y=0的通解。设y=e^(mx)，代入齐次方程得m=-1，因此齐次方程的通解为y=c*e^(-x)。再求非齐次方程的特解。设y*=A*e^(-x)，代入非齐次方程得A=1，因此非齐次方程的一个特解为y*=e^(-x)。因此，该微分方程的通解为y=c*e^(-x)+e^(-x)。(3)求微分方程y''+2y'-8y=2e^x的通解。解：先求齐次方程y''+2y'-8y=0的通解。设y=e^(mx)，代入齐次方程得m^2+2m-8=0，解得m=-4或m=2。因此，齐次方程的通解为y=c1*e^(-4x)+c2*e^(2x)。再求非齐次方程的特解。设y*=Ae^x，代入非齐次方程得A=1/5，因此非齐次方程的一个特解为y*=1/5*e^x。因此，该微分方程的通解为y=c1*e^(-4x)+c2*e^(2x)+1/5*e^x。三．求解下列微分方程1.解：根据偏导数分离变量，得到$$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x^3}{y^2\ln(3x-4y)+(3x-4y)y^2\frac{\partialv}{\partialx}},\\frac{\partialz}{\partialy}=-\frac{2x^2}{y^3\ln(3x-4y)-(3x-4y)y^2\frac{\partialv}{\partialy}}$$2.解：根据极限的定义，得到$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)2^{n+1}}{3^n}=2>1$$因此，级数发散。3.解：根据极坐标系下的面积元素，得到$$\iint\limits_De^{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1e^{r^2}r\mathrm{d}r=\pi(e-1)$$四．计算下列各题1.解：根据换元积分法和分部积分法，得到$$y=e^{-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}\left[\int\left(\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right)e^{-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right]=x\left[\frac{1}{2}(\lnx)^2+C\right]$$2.解：根据换元积分法，得到$$\iint\limits_D(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{\frac{131}{2x}}^{\frac{10}{x}}(x+y)\mathrm{d}y=10$$3.解：根据二阶偏导数判定法，得到$$\begin{cases}A=-2\\B=0\\C=12\end{cases},\AC-B^2=-24<0$$因此，点$(3,2)$不是极值点；$$\begin{cases}A=-2\\B=0\\C=-12\end{cases},\AC-B^2=24>0,\A<0$$因此，点$(3,-2)$是极大值点，极大值为$f(3,