复变函数与积分变换总结

1/1[复变函数与积分变换][总结]《复变函数与积分变换》复习要点：

(1)复数的运算和复函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数）值的计算；

(2)判别复函数的连续性、可导性和解析性（包括Cauchy－Riemann方程）；

(3)求复积分（包括利用Cauchy－Goursat基本定理和留数定理）；

(4)求共轭调和函数；

(5)求复函数的Taylor级数和Laurent级数；

(6)求留数及其在积分中的应用；

(7)Fourier正逆变换公式以及七条常用性质（线性、位移、微分、积分、卷积、乘积、相像性质）；

(8)Laplace正逆变换公式以及七条常用性质（线性、微分、积分、位移、延迟、卷积、相像性质）；

(9)利用Laplace变换求解线性微分方程（组）；

(10)1,t,u(t),e??t,?(t),sinkt,coskt的Fourier变换公式和Laplace变换公式．

Fourier变换公式：

1?2??(?)；t?2?j??(?)；u(t)?1??t?2??(??j?)；?(t)?1；???(?)；ej?

sinkt??j[?(??k)??(??k)]；coskt??[?(??k)??(??k)]．

Laplace变换公式：

1111?；t?2；u(t)?；ssse??t1ks?coskt?；?(t)?1；sinkt?2；．s??s?k2s2?k2计算题．

例1．计算Ln(1?i),sin(?i)，i?i．1?ln2?i(2k??)；24解：Ln(1?i)?ln?i?iArg(1?i)?

1iz1i(?i)1?1?iz?i(?i)sin(?i)?(e?e)?[e?e]?(e?e)i；2i2i2z??i

i?e

?i?iLni?e?i[lni?iArgi]?e2k???2,(kZ)．

（大写L）（大写Z）例2．问函数f(z)?y?ix在何处连续？何处可导？何处解析？(z?x?iy)．解：u?y2,v?x2．22?u(x,y),v(x,y)在实平面到处连续，?f(z)在复平面到处连续．

f(z)仅在直线x?y?0上可导；但直线不含邻域，f(z)无??ux?0?vy?0?x?y?0，????uy?2y????2x

处解析．

例3．计算I?解：记f(z)?1dzz?，其中曲线Ｃ为：(a)圆周的正向；(b)圆周z?2的正向．C(z?i)3(z?3i)21．(z?i)3(z?3i)

(a)f(z)在曲线Ｃ内部解析，依据Cauchy－Goursat基本定理，I?0．(b)f(z)有奇点：z1?i，三级极点．利用留数定理，

I?2?iRes[f(z),i]?2?i

例4．

??1(z?i)??lim??．2!z?i?(z?i)3(z?3i)?32?3?P103．30(2),(3)．（共轭调和函数）

P

P例5．143．11(4)，12(3),16(3),(5)．例6．183．1(2),(7),8(3),9(5)．

例7．《积分变换》

例8．P29．3(1),16．P51．3,5(3),(6)．

??t5(3)据P12例1，F?e1??u(t)?,(??0)，利用线性性质和象函数位移性质得：??j?

Fe

???t?1j?0t?j?0t??t?cos?0t?u(t)?F?(e?e)eu(t)??2??

11j?0t??t?F{e[eu(t)]}?F{e?j?0t[e??tu(t)]}22

1?1?1?1???j??????j??22象函数位移性质2???j??2(??j?)?????????０???????０0

5(6)．F[ej?0t?tu(t)]象函数F[t?u(t)]?????象函数jF[[?jt?u(t?)?]???

位移性质0微分性质0

?1??j????(?)??j??

例9．

??????0?1??1???2??j??(?)????j??(???0)．2????????0(???0)P92．1(2),(3),(8),3(1)(利用性质计算)．

PP10．51(10)．例10．100．3(3),(7),

例11．135．1(6),4(2)．

P

2023/2023学年第一学期《复变函数与积分变换B》课程考核试卷A√、B□课程代码：22000142学分/学时数2.5/40任课老师_______课程性质：必修□、限选□、任选□考试形式：开卷□、闭卷√适用班级/专业_全校工科类各专业_考试时间100分钟……………………学号姓名__________得分_____________

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留意：务请考生保持卷面干净、少涂改，否则适当扣分．

一．填空题(每小题5分，共15分．可以增补一个中间式）：

1．计算函数值：cos(2i)=_______________________________________________________________；

3i=_______________________________________________________________________________．

2．函数f(t)??1在z0?1处的Taylor级数为___________________________________________；2z

其收敛半径为________________________________________________________________________．

3．若C是圆周z?10的正向，则

二．（10分）试问函数f(z)?e

三．（12分）计算积分I=

C1??sin??dz的值为_________________________________．z?1?C?4y?ix4(其中z?x?iy)在何处连续？何处可导？何处解析？为什么？zdz，其中曲线C为：2(z?3i)(z?1)

(a)圆周z?0.5的正向；(b)圆周z?1?1的正向．

四．（8分）试将函数f(z)?5在区域1?z?1???内绽开成Laurent级数．(z?1)(z?2)

五．（10分）试指出f(z)?sinz在有限复平面内的孤立奇点及其类型，并求各孤立奇点处的留数．z(z?5i)

六．（16分）(1)试求f(t)?2?u(t?3)?cos(4t)的Fourier变换；

(2)试求f(t)?e?3jt?(t?2)?t的Fourier变换．

七．（16分）(1)设函数f(t)以2?为周期，且f(t)?kt,t?[0,2?]．试求f(t)的Laplace变换(k为常数)；

(2)试求f(t)?t?(t)??sinktdt0t的Laplace变换(k为常数)．

八．（13分）试用积分变换法求解初值问题：

?x???x??2x?2,?（其中x?x(t)为未知函数）．?x(0)?0,x(0)?2,?

2023/2023学年第一学期《复变函数与积分变换A》课程考核试卷A√、B□

课程代码：22000141学分/学时数3/48任课老师________

课程性质：必修□、限选□、任选□考试形式：开卷□、闭卷√

适用班级/专业_全校工科类各专业_考试时间_100分钟

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学号姓名__________得分_______________

留意：务请考生保持卷面干净、少涂改，否则适当扣分．

一．填空题(每小题6分，共18分．可以增补一个中间式）：

1．复数Ln(2i)=_______________________________，其主值为______________________________．2．f(z)?cos(z2)在z0＝0处的Taylor级数为_____________________________________________；收敛半径为___________________________________________________________________________．

3．计算积分?2i

0zezdz的值_____________________________________________________________．

二．（10分）试求解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，其中z?x?iy，v(x,y)?2(x?1)y，f(0)?1．

ez

三．（13分）计算积分I=dz，其中曲线C为：2

Cz(z?i)

(a)圆周z?1?0.5的正向；(b)圆周z?5的正向．

四．（9分）试将函数f(z)?10在区域1?z?2???内绽开成Laurent级数．(z?1)(z?2)

??x2dx五．（5分）计算广义积分I＝???．

16?x4

六．（16分）(1)求f(t)?t??(t?2)?1的Fou