2022-2023学年山东省威海市环翠区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）VIP

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第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中与是同类二次根式的是()

A.B.C.D.

2.下列运算正确的是()

A.B.

C.D.

3.已知，则的值为()

A.或B.C.D.或

4.如图，在菱形中，于，，，则()

A.B.C.D.

5.实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是()

A.B.C.D.

6.对于任意实数，关于的方程的根的情况为()

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法判定

7.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为()

A.B.C.D.或

8.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是()

A.B.C.D.

9.如图，在中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是()

A.

B.

C.

D.

10.如图，在矩形中，，，点、在边上，和交于点，若，则图中阴影部分的面积为()

A.

B.

C.

D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若，则______．

12.如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为______．

13.如图，矩形的边长，，将矩形折叠，使点与点重合，则折痕长为______．

14.若，则代数式的值为______．

15.如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．

16.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为：，则线段的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

计算：

；

18.本小题分

按指定方法解方程：

因式分解法；

配方法．

19.本小题分

如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？

20.本小题分

已知：关于的方程．

若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出这时方程的根．

问：是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．

21.本小题分

如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，交于点求，及的值．

22.本小题分

如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，重足为，点在的延长线上，，重足为，

若，求证：四边形是菱形；

若，的面积为，求菱形的面积．

23.本小题分

如图，在矩形中，，点是边上的一点，将沿着折叠，点刚好落在边上点处；点在上，将沿着折叠，点刚好落在上点处，此时：：．

求证：∽；

求和的长．

24.本小题分

如图，在正方形中，，是对角线上的点，连接，过点作，交于点，连接交于点．

求证：；

求证：；

若，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，

与不是同类二次根式，

故A不符合题意；

B、，

与不是同类二次根式，

故B不符合题意；

C、，

与不是同类二次根式，

故C不符合题意；

D、，

与是同类二次根式，

故D符合题意；

故选：．

根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．

本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；

B、，故B符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D不符合题意；

故选：．

利用二次根式加减法的法则，二次根式的化简的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】

【解析】解：原方程变形得，，

，

又的值是非负数，

的值为只能是．

故选：．

解题时把当成一个整体来考虑，再运用因式分解法就比较简单．

任何数的平方都是非负数，解这类问题要特别注意这一点．

4.【答案】

【解析】解：菱形，

，，

，

，

，

，

在中，，

在中，，

故选：．

根据菱形的性质得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而利用勾股定理得出即可．

此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出．

5.【答案】

【解析】解：数轴可得，且，

．

故选：．

由数轴可得，，则利用二次根式的化简的法则进行求解即可．

本题主要考查二次根式的性质与化简，数轴，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

6.【答案】

【解析】解：，

，

不论为何值，，

即，

所以方程没有实数根，

故选：．

先根据根的判别式求出“”，再根据根的判别式进行判断即可．

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．

7.【答案】

【解析】解：当底边为，两腰为关于的方程的两个根，

，

解得，

此时方程为，解得，

当腰为时，把代入关于的方程得，

解得，

此时方程为，解得，，

三角形三边分别为、、，

综上所述，的值为或．

故选：．

当底边为，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为时，把代入关于的方程得，解得．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

8.【答案】

【解析】解：设每年增长率为，绿地面积为，

依题意得第一年的绿地面积为：，则第二年的绿地面积为：，

则，

解得负值已舍，

故选：．

首先设每年增长率为，绿地面积为，依题意得第一年的绿地面积为：，则第二年的绿地面积为：；接下来根据题意列出方程；再解上面的方程即可得出答案．

此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量现在的量，增长用，减少用但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．

9.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，．

A.，

．

，

∽．

．

不一定等于，

不一定成立，故选项A不一定正确；

B.，

．

，

不一定等于，

不一定成立，故选项B不一定正确；

C.，

∽．

，故选项C一定正确；

D.由可得，故选项D一定不正确．

故选：．

利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断得结论．

本题主要考查了相似三角形的性质，掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．

10.【答案】

【解析】

【分析】过点作于，延长交于，通过证明∽，可得：：：，可求，的长，由面积的和差关系可求解．

本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．

【解答】解：过点作于，延长交于，

四边形是矩形，

，，

，

，

，，

∽，，

：：：，

又，

，，

，

，，

．

故选：．

11.【答案】

【解析】解：根据题意，

设，，，

则，

故答案为：．

根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．

已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．

12.【答案】

【解析】解：设道路的宽为，根据题意得：

，

解得：，不合题意，舍去，

则道路的宽应为；

故答案为：．

把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．

连结，根据折叠的性质得到垂直平分，即，，则，设，则，，在中根据勾股定理可计算出，在中根据勾股定理可计算出，则，在中利用勾股定理可计算出；易证得≌，得到，则．

【解答】

解：连结，如图，

矩形折叠后点与点重合，

垂直平分，即，，

，

设，则，，

在中，，即，解得，

在中，，

，

在中，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

．

故答案为．

14.【答案】

【解析】解：，

．

故答案为：．

直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据得出答案．

此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用完全平方公式是解题关键．

15.【答案】

【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，

，

，，

，

是矩形的对角线的中点，

，

四边形的周长为，

故答案为：．

根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．

本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．

16.【答案】

【解析】解：，，，

，，

，

与成位似图形，相似比为：，

，

故答案为：．

根据勾股定理求出，根据位似图形的概念解答即可．

本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的性质是解题的关键．

17.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】直接利用乘法公式将原式变形，进而计算得出答案；

直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18.【答案】解：方程移项得：，

分解因式得：，

整理得：，

所以或，

解得：，；

方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，．

【解析】方程利用因式分解法求出解即可；

方程利用配方法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各自的方法是解本题的关键．

19.【答案】解：四边形为正方形，

，

∽；

设正方形零件的边长为，则，，

，

∽，

，

，

，

解得：．

答：正方形零件的边长为．

【解析】根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．

本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．

20.【答案】解：若方程有两个相等的实数根，

则有，

解得，

当时，原方程为，

；

不存在．

假设存在，则有．

，

，

．

即，

，

，

，．

，

，

，都不符合题意，

不存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于．

【解析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的等式，由此求出的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；

利用根与系数的关系，化简，即根据根与系数的关系即可得到关于的方程，解得的值，再判断是否符合满足方程根的判别式．

总结：、一元二次方程根的情况与判别式的关系：

方程有两个不相等的实数根；

方程有两个相等的实数根；

方程没有实数根．

、根与系数的关系为：．

21.【答案】解：根据题意知，，，

，

，∽，

，，

，

，

，

，

故，，．

【解析】先证明，根据平行线分线段成比例定理求得：，证明∽，由相似三角形的性质求得两三角形的面积比，及的长度，进而求得：．

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：四边形是菱形，，

，

，，

，

为对角线的中点，

，

，

，

，

，

四边形是菱形；

，，的面积为，

，

，

连接，则，，

，，

∽，

，

，

，

，

菱形的面积．

【解析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；

根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，连接，则，，根据相似三角形的性质得到，由菱形的面积公式即可得到结论．

23.【答案】证明：四边形是矩形，

，

由折叠对称知：，，

，，，

，

∽．

解：：：，且和等高，

：：，

将沿着折叠，点刚好落在边上点处，

，

，，

．

在中，，

由折叠的对称性质可设，则，

，

，

解得，

．

【解析】由矩形的性质得出，由折叠的性质得出，，证得，则可得出结论；

由面积关系可得出：：，由折叠的性质得出，求出，，则可得出答案．由勾股定理求出，设，则，由勾股定理得出，解得，则可得出答案．

本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

24.【答案】证明：如图，连接，

四边形为正方形，

，，

在和中，

，

≌，

，，

，

，，