初中数学竞赛第二十一讲数形结合(含解答)

初中数学竞赛第二十一讲数形结合(含解答)第二十一讲数形结合【趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗？事情是这样的：如图，D是三角形ABC的边AB上一点，其上有一只小蚂蚁。它首先从D点沿平行于BC的方向爬行到AC边上的E点，再从E点沿平行于AB方向爬到BC边上的F点，再从F点沿平行于AC的方向爬行到AB边上的G点……，这样每从一边爬到另一边算爬一次。那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D？如果可经最少n次回到D点，那么n的值等于多少？加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长？解析：(1)若D是AB中点，则n=3；(2)若D不是AB中点，可证明6次后蚂蚁回到出发点D。因蚂蚁行走路线都是与△ABC各边平行的，所以ADAEBFBGCHCKAM，BDECFCGAAHBKBM，即AD/AB=AE/AC=BF/BC=CG/CA=1/3，BM/AB=BD/AD，∴BD=BM，即M与D重合，n=6。当第(1)种情况时，蚂蚁回家的总路线长是△ABC各边和的一半，只要知道△ABC各边长即可求解；当第(2)种情况时，只要知道△ABC各边长和AD、DG或AE、EH等即可求解。请读者计算一下。点评：数与形是一个不可分割的整体，数体现形的大小、形状，而形又是抽象的数量关系形象化。数形结合能使我们容易把握问题的实质。【知识延伸】例：求函数y=x^2+1+(4-x)^2+4的最小值。解析：构造如图所示的两个直角三角形，即Rt△PAC、Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，PD=4-x，求最小值可转化为：在L上求一点P，使PA+PB最小。取点A关于L的对称点A′连结A′B，则A′B与L的交点即为所求P点。故PA+PB的最小值即是线段A′B在Rt△A′EB中，A′B=√(3^2+4^2)，故函数y的最小值为5。点评：此题若用代数方法来解很麻烦，通过对函数形式观察，发现x^2+1可以看成是以x、1为直角边的三角形的斜边，(4-x)^2+4可以看成是以(4-x)、2为直角边的斜边。此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决。【好题妙解】佳题新题品味=ax+1的交点，若有负根，则交点在y轴负半轴上，如图所示。设交点为P，坐标为(-k,-ak-1)，则有：|k|=ak+1（因为P在y轴负半轴上）k=-ak-1（因为P在函数y=|x|和y=ax+1的交点上）将第一个式子代入第二个式子得：-ak-1=a|k|+1，即a=-k/(k+1)。又因为方程有负根，则k>0，所以a<-1。综上所述，a的取值范围为a<-1。点评：本题需要对绝对值函数的性质有一定的了解，通过图像分析，利用交点的坐标关系，得出a的取值范围。题目难度适中，考察了学生的综合能力。1.当且仅当a不等于0时，函数y=1/(2ax+bx+c)总有意义。2.已知内接正方形边长为b，外接正方形边长为a，则有b<a≤2b的不等式成立。3.已知a、b、x、y都是正数，且a²+b²=x²+y²=ax+by=1，则有a²+y²=b²+x²=1，且ab=xy的结论成立。4.1.当b²-4ac>0时，函数y=(ax²+bx+c)/(2ax)有意义。2.证明(a+2)²+(b+2)²≥25，其中a+b=1。5.1.已知正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b