2023年高考全国甲卷文科数学试卷真题（含答案）

PAGE1页/27页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.12560分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U2,4,，集合M4,N2,5，则NM（ ）A.2,3,52.51i32.2i2i

B.（ ）

C.2,4,

D.2,3,4,5

1 C.1i

D.1i3.a3,1,b22，则cos

ab,a

（ ）A. 1 B. 1717 17

5

254242名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）1A. 6

1 C.1 D.223 32记Sn为等差数列an的前n项和．若a2a610,a4a845，则S5（ ）A.25 B.22 C.20 D.15执行下边的程序框图，则输出的B（ ）A.21 B.34 C.55 D.89FF,F 设 为椭圆C:

2的两个焦点，点P在C上，若PFPF

0

PF

（ ）51 2 y 15

1 2 1 2A.1 B.2 C.4 D.5ex e曲线yx1在点 2处的切线方程为（ ）yex4

yex2

yexe4 4

yex2 4 已知双曲线 0,b 0)的离心率为

，其中一条渐近线与圆(x

2

2交于A，a2 b2

2) (y

15B两点，则|AB|（ ）5 5

25

35

456在三棱锥PABC中，是边长为2的等边三角形，PAPB2,PC ，则该棱锥的体为（ ）63A.1 B. C.2 D.33.fxe(x)2．记a

f2,bf3,cf6，则（ ）2 2 2bca

ba

cba

cabyfxycos2x的图象向左平移yfx的图象与 6 6 直线y1x1的交点个数为（ ）2 2A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.记Sn为等比数列an的前n项和．若8S67S3，则an的公比为 ．若fx(x1)2axsinxπ为偶函数，则a ． 2 3x2y3,若x，y满足约束条件2x3y3，则z3x2y的最大值为 ．xy1,在正方体中，AB4,O为的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.ABC记 的内角B,C的对边分别为a,b,c，已知b2c2a2ABCcosA

2．求bc；若b1，求面积．cABCACB90．；AB2的高．4020只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间单位：g对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1326 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；mm对照组试验组2ⅰ求40mmmm对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？2

n(adbc)2

abcdacbd，PK2k01000.0500.010k2.7063.8416.635fxax

sinx

,x0,π．cos2x

2 a1fx的单调性；fxsinx0，求a的取值范围．15已知直线x2y10与抛物线C:y22px(p0)交于B两点，AB4 ．15p；F为CMN为CFMFN0，求面积的最小值．（二）10分.2223题中任选一题作答.计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）y1tsin已知点P,，直线l:x2to,（t为参数为l的倾斜角，ly1tsin别交于A,B，且PAPB4．（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知f(x)2xaa,a0．fxx的解集；yfx2，求a．PAGE6页/27页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.12560分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集UA.2,3,54M4,B.1,3,4N25NMC.1,2,4,5（ ）D.2,3,4,5【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集U245}M，所以M2，N5}NM{2故选：A.2.51i32.2i2i

（ ）

1 C.1i

D.1i【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.

51i3

51i1i(2i)(2i) 5故选：C.3.a3,1,b22，则cos

ab,a

（ ）A. 1 B. 1717 17

5

25【答案】B【解析】

abababab，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为a(3,1),b(2,2)，所以ab5,3,ab1,1， 5232112则a5232112

34,ab

，abab51312，所以cos

ab,a

2 a 2 a abab34217故选：B.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）1 1A. B.6 3【答案】D【解析】

12

23【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.4【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C26件，4222名学生来自不同年级的基本事件有4，242.226 3故选：D.记Sn为等差数列an的前n项和．若a2a610,a4a845，则S5（ ）A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列an的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列an的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列n的公差为d1a2a6a1da15d10，即a13d5,又a481d1d45d,12，

55a1

54d521020．2故选：C.方法二：a2a62a410，a4a845，所以a45，a89，从而da8a41，于是aad514，84 3 4所以S55a320．故选：C.执行下边的程序框图，则输出的B（ ）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当k1A123B325k112；k2A358B8513k213；当k3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A81321，B211334，k314；当k4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B34．故选：B.FF,F 设 为椭圆C:

2的两个焦点，点P在C上，若PFPF

0

PF

（ ）51 2 y 15

1 2 1 2A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．

0，所以

，S

b2tan4511PFPFPFPF

2．故选：B.

2 1 2 1 2方法二：

0，所以

c2514c2，所以PF2PF2FF24216，又PFPF

2a2

，平方得：51 2 12 1 25PF2PF22PFPF162PFPF20，所以PFPF

2．1 2 1 2 1 2 1 2故选：B.ex

1,eyx1在点

2处的切线方程为（ ）yex4

yex2

yexe4 4

yex2 4【答案】C【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.

ex e e在点处的切线方程为y kx1，y 2 2x1 y

ex，x1PAGE10页/27页

exx1ex 2

xex2，ky

x1 x1ex1 4所以yeex12 4 x所以曲线ye 在点e处的切线方程为yexe. xx1 2 4 4故选：C 已知双曲线 0,b 0)的离心率为

，其中一条渐近线与圆(x

2

2交于A，a2 b2

2) (y

15B两点，则|AB|（ ）5 5

25

35

45【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.5c25【详解】由e ，则a2解得b2，a

a2b2a2

b21 5，a2所以双曲线的一条渐近线不妨取y2x，|223|221则圆心|223|2215所以弦长|AB|2

2 45.r2r2d2115故选：D6在三棱锥PABC中，是边长为2的等边三角形，PAPB2,PC ，则该棱锥的体为（ ）63A.1 B. C.2 D.33【答案】A【解析】【分析】证明AB平面PEC，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.【详解】取AB中点E，连接PE,CE，如图，ABC是边长为2的等边三角形，PAPB2，PEAB,CEAB，又PE,CE平面PEC，PECEE，AB平面PEC，PECE2

3 ， ，36236故PC2PE2CE2，即PECE，所以VV故选：A

BPECVAPEC

13

AB11 3 2

321，.fxe(x)2．记a

f2,bf3,cf6，则（ ）2 2 2bca【答案】A【解析】

ba

cba

cab【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令g(x)(x1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x1，6636221 3 4663622因为 1

，而(

3)24296

166

70，2 2 2 23所以611363

40，即61132 2 2 2 2 2 g(

6)g(3)，2 266 261 2 466 26因为 1

，而(

2)242843164384(32)0，2 2 2 2即 611

2g(

6)g(

2)，2 2 2 2g(

2)g(6)g(3)，2 2 2又yex为增函数，故acb，即bca.故选：A.yfxycos2x的图象向左平移yfx的图象与 6 6 直线y1x1的交点个数为（ ）2 2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】fxsin2xfxy1x1的部分大致图像，2 2考虑特殊点处fx与y1x1的大小关系，从而精确图像，由此得解.2 2【详解】因为ycos2xπ向左平移π个单位所得函数为 6 6 y

π π

πcos2x66cos2x2sin2xfxsin2x， 而y1x1显然过0,1与1,0两点，2 2 2 作出fx与y1x1的部分大致图像如下，2 2考虑2x3π,2x3π,2x7π，即x3π,x3π,x7π处fx与y1x1的大小关系，2 2 2 4 4 4 2 2当x3π时，f3πsin3π1，y13π13π41；4 4 2

2 4 2 8 当x3π时，f3πsin3π1，y13π13π41；4 4 2

2 4 2 8 当x7π时，f7πsin7π1，y17π17π41；4 4 2

2 4 2 8 所以由图可知，fx与y1x1的交点个数为3.2 2故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.记Sn为等比数列an的前n项和．若8S67S3，则an的公比为 ．【答案】12【解析】【分析】先分析q1，再由等比数列的前n项和公式和平方差公式化简即可求出公比q.【详解】若q1，则由8S67S3得873a10，不合题意.q1.当q1时，因为8S67S3，所以8

a1q611q1

7

a1q31，1q1，即81q671q3，即81q31q371q3，即81q37，q1.2故答案为：12若fx(x1)2axsinxπ为偶函数，则a ． 2 【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.PAGE14页/27页fxx2axsinxπx12axosxx2a2)x1osx， 2 且函数为偶函数，a20，解得a2故答案为：23x2y3,若x，y满足约束条件2x3y3，则z3x2y的最大值为 ．xy1,【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数y3xz过点A时，z有最大值，2 2由2x3y3可得x3，即A(3,3),3x2y3 y3zmax332315.故答案为：15在正方体中，AB4,O为的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 ．【答案】[22,23]【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R.PAGE15页/27页当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，2R

424242334 ，即2R43,R4242423332 ；3MH,GN是边长为4的正方形，且O为正的对角线交点，2连接MG则MG4 ，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆球的半径达到最小，即R的22最小值为2 .2R[2223.故答案为：[2223]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.ABC记 的内角B,C的对边分别为a,b,c，已知b2c2a2ABCcosA

2．求bc；若b1，求面积．c【答案】（1）1（2） 34【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】a2b2c2cosA

b2c2a2 cosA 2bc2，解得：1．cosA cosA【小问2详解】acosBbcosAbsinAcosBsinBcosAsinBacosBbcosA c sinAcosBsinBcosA sinCsinAB sinB sinABsinB1，sinAB sinAB sinAB变形可得：sinABsinABsinB，即2cosAsinBsinB，而0sin所以cosA1，又0Aπ，所以sinA 3，2 2故ABC的面积为S

1bcsinA113 3．△ABC

2 2 2 4ABCACB90．；AB2的高．【答案】（1）证明见解析.（2）1【解析】(1)BCACACC1；(2),ACO为中点，ACxx.【小问1详解】PAGE17页/27页证明：因为A1C平面ABC，BC平面ABC,所以A1CBC,又因为ACB90，即ACBC，A1C,AC平面ACC1A1，A1CACC,ACC1，BC,所以平面ACC1A1平面BCC1B1.【小问2详解】如图，过点A1作A1OCC1，垂足为O.BCC1ACC1，，所以四棱锥A1BB1C1C的高为A1O.因为A1C平面ABC，AC,BC平面ABC,所以A1CBC,A1CAC,又因为A1BAB，BC为公共边，所以ABC与A1BC全等，所以A1CAC.设A1CACx，则A1C1x，PAGE18页/27页所以O为CCOC1

1,1 1 2 1又因为ACAC,所以AC2AC2AA2,1 1 12222即x2x22222AC2AC2OC2111

1，所以四棱锥A1BB1C1C的高为1．4020只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间单位：g对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；mm对照组试验组2ⅰ求40mmmm对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？2

n(adbc)2

abcdacbd，PK2k0.1000.0500.010k2.7063.8416.635PAGE26页/27页【答案】（1）19.82i）m23.4（i能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；2im23.4（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.22021.622.823.623.925.128.232.336.5)39619.820【小问2详解】402021位数据的平均数，11位数据为18.8，后续依次为20.220.223.223.6,，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m23.223.623.4，2故列联表为：mm合计对照组61420试验组14620合计202040由（i）

22 40(6614 6.4002 40(661420202020所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.fxax

sinx

,x0,π．cos2x

2 a1fx的单调性；fxsinx0，求a的取值范围．（1）fx在π上单调递减 2 （2）a0【解析】（1）a1fxfx，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）gxfxsinxgx0g00g00，进而得到a0，再分类讨论a0与a<0两种情况即可得解；法二：先化简并判断得sinx

sinxcos2x

0a0a0三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得a0时不满足题意，从而得解.【小问1详解】a1fxx

sin

,x0,π，cos2x

2fx1

cosxcos2x2cosxsinxsinx4

1

cos2x2sin2x3coscos3xcos2x21cos2x cos3x

xcos3xcos2x2cos3x

cosx令tcosx，由于x0,π，所以tcosx0,1， 2 所以cos3xcos2x2t3t22t3t22t22t2t12t1t1t22t1，因为t2t2t210，t10，cos3xt30，cos3xcos2x

πfx

cos3x

0在,上恒成立，2 2fx在π上单调递减. 2 【小问2详解】法一：gxfxsinxax

sinxcos2x

sinx0x

π2， 1sin2x πgxa

cos3

cosx0x ，2 2gxfxsinx0g0f0sin00，g0a11a0a0，a0时，因为sinx

sinx

1 ，cos2x

sinx

cos2x 又x0,π，所以0sinx1，0x1，则

1， 2

cos2x fxsinxsinx

sinxcos2x

0，满足题意；当a<0时，由于0xπ，显然ax0，2fxsinxax

sinxcos2xsinxsinx

sinxcos2x

0，满足题意；fxsinx0a0，所以a的取值范围为0.法二：

sinx

sinxcos2xsin

sinxcos2x1

sin3x因为sinxcos2x

cos2x

cos2x

cos2x，因为x0,π，所以0sinx1，0cosx1， 2 故sinx

sin

0在0,π上恒成立，2 2x a0fxsinxsinx

sinxcos2x

0，满足题意；当a<0时，由于0xπ，显然ax0，2fxsinxax

sinxcos2xsinxsinx

sinxcos2x

0，满足题意；a0fxsinxax

sin2

sinxax

sin3x，2cosx cosxsin3x π 3sin2xcos2x2sin4x gxaxcos2x0x2gxa

，cos3xg0a

3sin20cos202sin4cos30

a0，若xπgx0gx在π上单调递增， 22 g00gxg00fxsinx0，不满足题意；若xπgx0g0gx

0，0 2 0 0所以在πx0

0πgx0， 2

1 1 2gx在0gx0gx在0上单调递增，则在0gxg00fxsinx0，不满足题意；a0.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论a0这种情况的关键是，注意到g00，从而分类讨论gx在πx0gx0，从而推得存在 2 gxg00，由此得解.15已知直线x2y10与抛物线C:y22px(p0)交于B两点，AB4 ．15p；F为CMN为CFMFN0，求面积的最小值．【答案】（1）p22（2）1282【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p；MN：xmyn，MNy2NF0mnMNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】AxAyABxByB，由x2y10y24py2p0yy

4p,yy

2p，y22px

A B ABxA Bx xA Bx y2y2A B

yAyB 5

4 ，5yA By 4yy2AB15即2p2p65yA By 4yy2AB15【小问2详解】F0MN的斜率不可能为零，MNxmynMNx2y2，y24x由xmyn

可得，y24my4n0，所以，y1y24m,y1y24n，16m216n0m2n0，NF0，所以1x21y20，即my1n1my2n1y20，亦即m2yymnyyn20，12 1 2y24my24n代入得，24m2n26n1，4m2nn20，n1n26n1