专升本高数数学第一章-函数、极限与连续课件

专升本高等数学二专升本高等数学二1（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念

第一章主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章2函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函31、函数的定义1、函数的定义4▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨别下列各对函数是否相同,为什么?不同,定义域不同

不同,对应关系不同

相同,定义域和对应关系都相同▲函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量对应法则f辨5▲函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。

用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；

(3)在对数式中，真数必须大于零；

(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]▲函数的定义域用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使6例：求下列函数的定义域

［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函数有意义,必须有且有解:(1)要使函数有意义，必须有分母取其公共部分例：求下列函数的定义域［Ａ］．即所以定义域为(-∞,-47解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有

所以定义域为(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函数有意义，必须有解得练习：P923解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有所8例.设

,求下列函数值

解:

解:解：

1）2）3）例.设,求下列函数值解:解:解：19(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2、函数的性质10(2)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，11(3)函数的有界性:(3)函数的有界性:12

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(4)函数的周期性:oyx设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数13专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件14说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数说明：反函数与直接函数之间的关系3、反函数156、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数6、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函161.幂函数1.幂函数172.指数函数2.指数函数183.对数函数3.对数函数194.三角函数正弦函数4.三角函数正弦函数20余弦函数余弦函数21正切函数正切函数22余切函数余切函数235.反三角函数5.反三角函数24专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件25专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件26

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角277、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.练习：P10117、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运28高等数学辅导讲义（专升本）第一章函数、极限与连续15%第二章一元函数的微分学20%第三章一元函数的积分学20%第四章多元函数微积分15%第五章常微分方程15%第六章无穷级数10%第七章向量代数与空间解析几何5%高等数学辅导讲义（专升本）第一章函数、极限与连续29第一章函数、极限与连续知识结构初等函数复合函数反函数性质概念函数第一章函数、极限与连续知识结构初等函数复合函数反函数性质概30第一章函数、极限与连续知识结构无穷小无穷大重要极限存在准则四则运算性质概念极限第一章函数、极限与连续知识结构无穷小重要极限存在准则四则运31专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件32复习2008年复习2008年33左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大左右极限两个重要求极限的常用方法无穷小极限存在的判定极限无穷34求极限的常用方法求极限的常用方法351、极限1、极限36专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件37左极限右极限左极限右极限38函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数

在点处是否有极限.

解:因为所以说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者都存在但不相等，则函数的极限不存在。函数的极限与左、右极限有如下关系：2.常用来判断分段函数在39左右极限存在但不相等,证习题：P183左右极限存在但不相等,证习题：P18340定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．定理(有界性定理)若函数f(x)当x→x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界．函数极限的性质定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中定理(有界性定41定理(保号性)推论定理(保号性)推论42无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无43性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质44一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充无穷大与无穷小一、无穷小量补充无穷大与无穷小45定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.例1例2时的无穷小量.时的无穷小量.因为所以因为所以一、无穷小量定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下46例如函数时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。

例如函数47(4)

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小48例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为不存在.所以时的无穷小量.为有界变量,例3解注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，所以时的49三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性三、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性50定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作四、无穷大量定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值51特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很52简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.定理在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,若f(x)为无穷小且f(x)不等于0,则为无穷大.例如：五、无穷小与无穷大的关系简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无53以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察

当时，为无穷大量；

当时，为无穷小量；以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.例4解例5考察54六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.六、小结1、主要内容:两个定义;定理.2、几点注意:无穷小55定理推论1推论23、极限的性质定理推论1推论23、极限的性质562009年1.直接代入法求极限;2009年1.直接代入法求极限;57例2解例1解：原式例2解例1解：原式58则有例题则有例题59小结:小结:60专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件612.消去分母零因子法求极限2.消去分母零因子法622009年2009年63解例4(消去零因子法)解例4(消去零因子法)64练习解练习解65解解66专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件673.分式函数求极限3.分式函数求极限68例5解(无穷小因子分出法)例5解(无穷小因子分出法)69例6

，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解例6，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解70小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以71练习解2007年练习解2007年72专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件734.利用重要极限求极限4.利用重要极限求极限74(1)(2)6、两个重要极限(1)(2)6、两个重要极限75=0注意：(1)=0注意：(1)76例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解例1解1coslim0此题中用到xx=®例2解77专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件78专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件79(2)注意：(2)注意：80例4解练习：或例4解练习：或812009年2009年82例题例题83专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件845.利用无穷小等价替换求极限;5.利用无穷小等价替换85定义:7、无穷小的比较定义:7、无穷小的比较86定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质87几个重要的等价无穷小：当时，

几个重要的等价无穷小：当时，88专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件89专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件90例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换91专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件922007年2007年936.利用左右极限求分段函数极限6.利用左右极限求94例9解左右极限存在且相等,例9解左右极限存在且相等,95说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连接点处的极限

（２）被考虑的函数中，含有某些项其左右极限不相等

２.下列几个极限不存在说明：1．什么情况下，需要分别求左右极限（１）求分段函数连96例3解例3解977.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.7.有界函数与无穷小的乘积98例8解例8解99专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件100专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件101左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性

振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类左右连续在区间[a,b]连续函数初等函数间断点定义连续1021、连续的定义1、连续的定义103从而，则一定满足以下条件从而，则一定满足以下条件104例1证由定义2知例1证由定义2知105专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件1062.单侧连续定理3、连续的充要条件2.单侧连续定理3、连续的充要条件107例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,1084.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如通俗的说即一笔划过4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区1095、间断点的定义5、间断点的定义1101.跳跃间断点例解6、间断点的分类1.跳跃间断点例解6、间断点的分类1112.可去间断点例2.可去间断点例112解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如上例中,解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则113跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类1143.第二类间断点例解3.第二类间断点例解115例解例解116例解函数在x=-1,x=0,x=1处没有定义所以x=-1,x=0,x=1是函数的间断点所以x=-1是函数的无穷间断点所以x=0是函数的跳跃间断点(Ⅰ)