角的概念的推广和弧度制课件

5.1.1角的概念的推广与弧度制5.1.1角的概念的推广与弧度制11、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.1、角的概念初中是如何定义角的？生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。生活中很多实例会不在该范围。2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”与“负角”、“0º角”特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α.特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：

=210,

=

150,

=660.②角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（360

×2=720

）3周（360

×3=1080

）③还有零角,一条射线，没有旋转.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角。

．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.（3）旋转量：3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30

、390

、

330

是第Ⅰ象限角，300

、

60

是第Ⅳ象限角，585

、1300

是第Ⅲ象限角，135

、

2000

是第Ⅱ象限角等3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直3、(2)轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。3、(2)轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非4．终边相同的角

⑴观察：390

，

330

角，它们的终边都与30

角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0

到360

的角与k(k∈Z)个周角的和：390

=30

+360(k=1),

330

=30

360

(k=－1)

30

=30

+0×360

(k=0),1470

=30

+4×360

(k=4)

1770

=30

5×360

(k=－5)4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的⑶结论：所有与

终边相同的角连同

在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)即：任何一个与角

终边相同的角，都可以表示成角

与整数个周角的和⑶结论：⑷注意以下四点：①k∈Z；②

是任意角；③k·360º与

之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.⑷注意以下四点：象限角的表示第一象限第二象限第三象限第四象限象限角的表示第一象限第二象限第三象限第四象限轴线角的表示轴线角的表示00000011不存在不存在-1-11特殊角的三角函数值00000011不存在不存在-1-11特殊角的三角函数值例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=k·360º+60º(k∈Z)},

S中在－360º～720º间的角是－1×360º+60º=－280º；0×360º+60º=60º；1×360º+60º=420º．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－3(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}

S中在－360º～720º间的角是0×360º－21º=－21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º．(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；0×360º+363º14’=363º14’．(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角为______________;解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]弧度制弧度制长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.

思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？OAB111rad

思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？－2radB2rOAr思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的思考5：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？

见书本第６页探究思考5：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半思考6：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？

思考6：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α探究（二）：度与弧度的换算

思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？探究（二）：度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量5、弧度制1、1弧度的角3、换算公式2、弧长公式规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？演示5、弧度制1、1弧度的角3、换算公式2、弧长公式规定：长度等6、弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系。用弧度制表示角时，不能与角度制混用。6、弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？

今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？

0思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α（）那么扇形的面积如何计算？

思