2022-2023学年江苏省无锡市宜兴丁蜀高级中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年江苏省无锡市宜兴丁蜀高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3 ＜I2 C．I3＜I1＜I2

D．I2＜I1＜I3参考答案：C试题分析：因为∠AOB=∠COD＞90°，OA＜OC，OB＜OD，所以＞0＞＞，故选C.【考点】平面向量的数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，进而得到．2.已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的(

) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可．解答： 解：若k=﹣2，则=（1，﹣2），=（﹣2，4），满足=﹣2，即，共线，充分性成立，若，共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立，故“k=﹣2”是“，共线”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3.已知集合A=，集合B={-3，-2,0,1,3}，则(CRA)∩B等于A.｛-2，0，1｝

B.｛-3，3｝

C.｛0，1｝

D.｛-2,0，1，3｝参考答案：A4.已知两定点A（0，﹣2），B（0，2），点P在椭圆=1，且满足||﹣||=2，则?为(

)A．﹣12 B．12 C．﹣9 D．9参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】向量与圆锥曲线．【分析】由||﹣||=2，求出双曲线的方程，将两曲线的方程联立方程组可解得x2=9，y2=4，代入?=（x，y+2）（x，y﹣2）=x2+y2﹣4进行运算得答案．【解答】解：由||﹣||=2，可得点P（x，y）的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支，且2a=2，c=2，∴b=，∴P的轨迹方程为，把=1和联立可解得：x2=9，y2=4，则?=（x，y+2）（x，y﹣2）=x2+y2﹣4=9+4﹣4=9．故选：D．【点评】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求两曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题．5.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)参考答案：D6.如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.若函数上有零点，则m的取值范围为（

）

A．

B．[-1，2]

C．

D．[1，3]参考答案：A略8.“”是“A=30o”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B9.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．2

B．3

C．10 D．15参考答案：C正方形面积为25，由几何概型知阴影部分的面积为：，故选C.10.设是定义在R上的偶函数，且时，，若在区间内，函数恰有1个零点，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图象恰有个交点，则有，解得或，即a的取值范围是，选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q且满足，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥与三棱柱A1B1C1-ABC的体积比为______.参考答案：1:3【分析】由已知中，我们可得四边形与四边形的面积相等，等于侧面的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎的体积转化三棱锥的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱椎的体积，进而得到答案．【详解】设三棱柱的体积为，侧棱和上各有一动点，满足，四边形与四边形的面积相等，故四棱椎的体积等于三棱锥的体积等于，所以四棱锥与三棱柱的体积比为体积比为.故答案为：1:3【点睛】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形与四边形的面积相等，等于侧面的面积的一半，将四棱椎的体积转化三棱锥的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，是解答本题的关键．12.设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=____

__.参考答案：，解得13.函数的零点个数是（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】由题意，判断此函数的零点的个数的问题可转化为两个函数的交点个数结合两个函数的图像得出两个函数图像的交点个数问题，即得解.【详解】函数的零点个数，即两个函数的交点个数，由图像知，两个函数仅有一个交点.故选：B【点睛】本题考查了函数的零点个数判定问题，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于基础题.14.曲线在点处的切线方程为

．参考答案：，切线的斜率，又过所求切线方程为，即，故答案为.

15.的展开式中的常数项为

．参考答案：2略16.直线被圆截得的弦长为

.参考答案：将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此。17.设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率，AF2与x轴垂直，且|AF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意求出椭圆方程，（2）然后求出和OA平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA的距离转化为原点O到切线的距离，则三角形AOB面积的最大值可求．【解答】解（1）：由题意，，a2=b2+c2解得a=2，b=c=2，则椭圆的方程为：（2）要使△AOB面积最大，则B到OA所在直线距离最远．设与OA平行的直线方程为y=．由消去y并化简得．x2+x+b2﹣4=0．由△=0得b=±2，不妨取b＞0，∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=，则B到直线OA的距离等于O到直线：y=，的距离d，d=，又|OA|=，△AOB面积的最大值s=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．19.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。参考答案：解析:方法一解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE。∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小为60o。（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF。在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ。∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴NE=(,

又点A、M的坐标分别是（）、（∴AM=（∴NE=AM且NE与AM不共线，∴NE∥AM。又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF。（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。∴为平面DAF的法向量。∵NE·DB=（·=0，∴NE·NF=（·=0得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE为平面BDF的法向量。∴cos<AB,NE>=∴AB与NE的夹角是60o。即所求二面角A—DF—B的大小是60o。（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴CD=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60o。∴解得或（舍去），即点P是AC的中点。20.（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲奴图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.（I）求证：AC·BC=AD·AE;（II）若AF=2,CF=2，求AE的长参考答案：(Ⅰ)见解析;（Ⅱ）

【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：（1）证明：连结，由题意知为直角三角形.因为，，∽，所以，即.又，所以.

………5分（2）因为是圆的切线，所以，又，所以，因为，又，所以∽.所以，得………10分【思路点拨】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF?BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据，，即可得出答案21.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）因为

………1分

，

………3分所以

.

………6分（或

………3分）（Ⅱ）因为所以.

………8分所以.所以.

………10分

所以.所以.

………12分所以的取值范围为.

………13分

略22.(13分)如图，已知点和圆AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P(异于A、B)是圆O上的动点，交AB于D，，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值.（1）求的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4,0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴