河南省开封市联合收割机厂子弟中学高三数学理联考试卷含解析

河南省开封市联合收割机厂子弟中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（

）条件（A）充分不必要

（B）必要不充分

（C）充要

（D）非充分非必要参考答案：B略2.（理）函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②指数函数是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)参考答案：②③④试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新知识，并加以应用.如①中，但，故不是单函数；②指数函数是单

3.在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若，(m＞0，n＞0)，则m+2n的最小值为（）A．3 B．4 C． D．参考答案：A三点共线，则当且仅当即时等号成立.故选A.

4.已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为A.

B.

2

C.

D.参考答案：D5.若变量满足条件，则的最小值为A. B.0 C. D.参考答案：A6.已知a、b、l表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若且则；②若a、b相交，且都在外，，则；③若，则；④若则.其中正确的是（

）A.①②

B.②③C.①④

D.③④参考答案：B7.将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位，

所得函数图像的一个对称中心为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，解析式变为：，再向右平移个单位，解析式变为，刚好是图像的一个对称中心，故选D．

8.函数在定义域R内可导，若，且（﹣1）′（）＜0，若，，，则的大小关系是

（）A．B．C．D．参考答案：C9.是所在平面内一点，，为中点，则的值为（

）A．

B．

C.

1

D．2参考答案：B∵D是AC的中点，∴，又∵，∴=．∴，∴=,故选：B【考查方向】本题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式、向量的模，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．【易错点】向量线性运算的转化和求解【解题思路】D是AC的中点，可得，由于，可得=，即可得出答案；10.已知双曲线满足条件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（

）①双曲线上的任意点都满足；②双曲线的—条准线为③双曲线上的点到左焦点的距离与到右准线的距离比为④双曲线的渐近线方程为A．1个

B．2个

C．3个 D．4个参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式

的解集是

参考答案：原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。12.把数列{2n+1}(n∈N*)，依次按第个括号一个数，第个括号两个数，第3个括号三个数，第4个括号四个数，第5个括号一个数，…，循环为(3)，(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…，则第104个括号内各数之和为

．

参考答案：207213.已知，则=

。参考答案：略14.在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为________．参考答案：15略15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________参考答案：16.已知函数在区间（）上存在零点，则n=

．参考答案：5函数是连续的单调增函数,

,

,

所以函数的零点在之间,所以n=5

17.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为

。参考答案：答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.

(1)当b=0时，若对x∈（0，+∞）均有f(x)≥h(x)≥g(x)成立，求实数k的取值范围；

(2)设h(x)的图象为函数f(x)和g(x)图象的公共切线，切点分别为(x1,f(x1))和(x2,g(x2))，其中x1>0.

①求证：x1>1>x2；②若当x≥x1时，关于x的不等式ax2－x+xe+1≤0恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：(1)依题意对x∈（0，+∞）均有ex≥kx≥lnx成立

即对任意x∈（0，+∞）均有≥k≥成立…………………(1分)

∴()min≥k≥

因为()=

故在（0，1）上减，（1，+∞）增

∴（）min=e

又

故在（0，e）上减，（e，+∞）增

∴

即k的取值范围是[，e]

(2)由题知：h(x)即为y－e=e(x－x1)即y=e·x+e－x1e

也为y=lnx2=即y=+lnx2－1

∴………………(6分)

又x1=0

∴e>1

即>1x1>1

即x1>1>x2………………(8分)

(3)令F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)

∴F′(x)=－1－xe+e=－1+e(1－x)(x≥x1)

又x≥x1>1

F′(x)=－1－xe+e=－1+e(1－x)<0

即F(x)=ax2－x+xe+1(x≥x1)单减

所以只要F(x)≤F(x1)=ax2－x1+1xe+1≤0

即a+x1－x1e+e≤0………………(12分)

由

∴

即

故只要≤0得：a≤1综上，实数a的取值范围是（－∞，1]……………(14分)19.（本小题12分）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。参考答案：解：由

得因为的两个根分别为1,4，所以

（*）（Ⅰ）当时，又由（*）式得解得又因为曲线过原点，所以故（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。由（*）式得。又解

得即的取值范围20.已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设过点M（0，t）（t＞0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|AB|=2，点M在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，，解得a=，b=c=1．∴椭圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，A，B为椭圆的上下顶点，且|AB|=2，∵点N总在以线段AB为直径的圆内，且t＞0，∴0＜t＜1，∴点M在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0，∵直线l与椭圆E有两个公共点，∴△=（4kt）2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设AB的中点G（x0，y0），则=，，∴G（，），∴|NG|==，|AB|==2??，∵点N总位于以线段AB为直径的圆内，∴|NG|＜对于k∈R恒成立，∴＜??，化简，得2t2k4+7t2k2+3t2＜2k4+3k2+1，整理，得t2＜，而g（k）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立，∴t2＜，由t＞0，．解得0＜t＜，∴t的取值范围是（0，）．21.已知正项数列中，，前n项和为，当时，有.（1）求数列的通项公式；（2）记是数列的前项和，若的等比中项，求.参考答案：解析：（1）……………1分，

……………2分

…………3分………4分……………6分（2）

…………………7分

…………………8分……………10分

………12分

略22.已知抛物线C：x2=?2py经过点（2，?1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=?1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．参考答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：