2022-2023学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是二元一次方程的是()

A.B.C.D.

2.下面计算正确的是()

A.B.

C.D.

3.若，，则的值应是()

A.B.C.D.

4.某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中，位评委给某位选手的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是()

A.平均数B.中位数C.方差D.众数

5.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是()

A.B.C.D.

6.下列各式中，计算结果为的是()

A.B.C.D.

7.如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为()

A.

B.

C.

D.

8.雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为()

A.B.C.D.

9.如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为()

A.B.C.D.

10.九章算术中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则可建立方程组为()

A.B.C.D.

11.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”下列数中为“幸福数”的是()

A.B.C.D.

12.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：；；；其中，正确的是()

A.B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.计算．

14.计算：______．

15.已知，，，，的方差为，则，，，，的方差为______．

16.如图所示，要在竖直高为米，水平宽为米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．

17.如图，已知，把一块含角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，边在直线上，将绕点顺时针旋转，则的度数为______．

18.定义一种新运算“”，规定，其中、为常数，且，，则

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

如图，已知三角形和直线，且三角形的顶点在网格的交点上．

画出三角形向上平移小格后的三角形；

画出三角形关于直线成轴对称的三角形．

20.本小题分

先化简，再求值：，其中．

21.本小题分

本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取名学生的测试成绩，整理如下：

小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：

根据图表，解答问题：

年级平均数众数中位数方差

七年级

八年级

填空：表中的______，______；

你认为______年级的成绩更加稳定，理由是______；

若规定分及分以上为合格，该校八年级共名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

22.本小题分

下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤：

利用加法交换律变形：第一步

提取公因式：第二步

逆用积的乘方公式第三步

运用平方差公式因式分解第四步

事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是______；

请给出这个问题的正确解法．

23.本小题分

如图，点，分别在，上，，垂足为点已知，．

求证：；

若，，，求点到直线的距离．

24.本小题分

随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．

求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，请你帮助该公司设计购买方案．

25.本小题分

如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

若，则______，______，______

若，则中的值是否改变？请说明你的理由．

将对折，点刚好落在处，且折痕与重合，求的度数．提示，长方形的四个角都是

26.本小题分

我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：

算法赏析：若满足，求的值．

解：设，，则，．

请继续完成计算．

算法体验：若满足，求的值；

算法应用：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、、以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：方程是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

B.方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

C.方程是二元一次方程，故本选项符合题意；

D.方程是一元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：．

根据二元一次方程的定义逐个判断即可．

本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫二元一次方程．

2.【答案】

【解析】解：因为，故选项A计算不正确；

，故选项B计算不正确；

，故选项C计算不正确；

，故选项D计算正确；

故选：．

用同底数幂的乘法法则计算，用合并同类项法则计算，用同底数幂的除法法则计算，用积和幂的乘方法则计算．

本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项及积和幂的乘方法则．题目难度较小，熟练掌握整式的运算法则是解决本题的关键．

3.【答案】

【解析】解：，，

．

故选：．

提取公因式，再代入数值进行求解．

主要考查了提公因式法分解因式的运用．

4.【答案】

【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分，个有效评分与个原始评分相比，

中位数一定不发生变化．

故选：．

根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．

本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差是关键．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

根据轴对称图形的概念求解．

【解答】

解：、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确．

故选：．

6.【答案】

【解析】解：．

故选B．

原式利用完全平方公式，平方差公式计算即可得到结果．

此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

7.【答案】

【解析】解：是直角，，

，

平分，

，

，

．

故选A．

先根据是直角，求出的度数，再根据平分求出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．

本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：如图所示：雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为：．

故选：．

直接利用旋转对称图形的性质得出答案．

此题主要考查了旋转对称图形，正确掌握相关性质是解题关键．

9.【答案】

【解析】解：过点作，

，

，

，；

故，即，

故．

故选B．

先作辅助线，再根据平行线的性质解答即可．

注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

设甲的钱数为，人数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．

【解答】

解：设甲的钱数为，乙的钱数为，

依题意，得：．

故选：．

11.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出方程，求出解判断即可．

【解答】

解：设较小的奇数为，较大的为，

根据题意得：，

若，即，不为整数，不符合题意；

若，即，不为整数，不符合题意；

若，即，不为整数，不符合题意；

若，即，符合题意．

故选：．

12.【答案】

【解析】解：，

，，

平分，平分，

，，

，，

，，

故选项正确；

与不一定相等，

不一定相等，故选项错误；

，

与是等底等高的三角形，

，

，故选项正确．

所以选项正确．

故选：．

根据平行线的性质和角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题主要利用平行线的性质和角平分线的定义求解，熟练掌握性质和概念并灵活运用是解题的关键．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．

利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．

【解答】

解：

故答案为：

14.【答案】

【解析】解：

．

故答案为：．

运用提公因式法进行简便运算．

本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．

15.【答案】

【解析】解：，，，，的方差为，

，，，，的方差为，

故答案为：．

将第二组数据中的每一个数据均减去后得到一组新数据与原数据相等，由此可以得到两组数据的方差相同．

本题考查了方差的定义，牢记方差的变化规律是解决此类问题的关键．

16.【答案】

【解析】解：由题意可知，

地毯的水平长度与的长度相等，垂直长度与的长度相等，

所以地毯的长度至少需要米．

故答案为：．

根据平移的性质可得，地毯的水平长度与的长度相等，垂直长度与的长度相等，计算即可得出答案．

本题主要考查了平移现象，熟练应用平移的性质进行求解是解决本题的关键．

17.【答案】

【解析】解：绕点顺时针旋转，

，

，

，

．

故答案为：．

先利用旋转的性质得到，然后利用平行线的性质得到的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．

18.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，掌握新定义的运算方法是解本题的关键．

由已知条件，根据所给定义可得到关于、的方程组，求得、的值，再代入计算即可．

【解答】

解：根据题意，得：

解得：

则，

，

故答案为．

19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求．

【解析】根据图形平移的性质画出即可；

根据轴对称的性质画出即可．

本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

20.【答案】解：

，

当时，原式

．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．

本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】；；

八；八年级成绩的方差小于七年级；

估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是人．

【解析】

【分析】

本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

根据平均数和中位数的定义求解即可；

根据方差的意义求解即可；

用总人数乘以样本中分及分以上人数所占比例即可．

【解答】

解：由表可知，八年级成绩的平均数，

所以其平均数；

八年级成绩最中间的个数分别为、，

所以其中位数，

故答案为：，；

八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，

故答案为：八；八年级成绩的方差小于七年级；

见答案．

22.【答案】公因式没有提取完

【解析】解：事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完；

故答案为：公因式没有提取完；

原式

．

观察嘉淇的解法，找出错误的原因即可；

写出正确的解法即可．

此题考查了因式分解运用公式法，以及有理数的混合运算，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．

23.【答案】证明：因为已知，

所以同位角相等，两直线平行，

因为已知，

所以垂直的性质，

所以垂直的定义，

又因为平角的定义．

即，

又因为，

所以同角的余角相等，

所以内错角相等，两直线平行；

解：因为，且，，．

设点到直线的距离为．

所以，

所以，

即，

所以点到直线的距离为．

【解析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；

设点到直线的距离为，根据等面积法可得，代入计算即可得出的值，即可得出答案．

本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．

24.【答案】解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，

依题意，得：，

解得：．

答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元．

设购进型汽车辆，购进型汽车辆，

依题意，得：，

，均为正整数，

为的倍数，

，，，

共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆．

【解析】设型汽车每辆的进价为万元，