相变研究方法的讨论

相变研究方法的讨论祖衍宇（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011）

指导教师：尹训昌摘要：本文主要阐述相变这一概念，对不同的相变进行分类，以及其研究方法的讨论，重点讨论Ising模型及其拓展模型Gauss模型。伊辛模型是描述反铁磁物质的一种简单的理想模型，它在铁磁物质的理论研究中有重要的作用。而Gauss模型作为伊辛模型的拓展自旋可以连续取值。在这篇文章中，我们研究了反铁磁物质的高斯模型上的临界性质，在一维反铁磁Gauss模型上相变的临界点和关联长度临界指数分别为k2，v二2。我们用部分格点相约的重整化群和自旋重标相结合的RG变换方法得到了上述结论。这种方法从根本上改变了平均场理论，在对gauss模型的研究很有效［1］。关键词:反铁磁物质，Gauss模型，重整化群，相变，Ising模型。相（Phase）：热力学系统（或它的一部分）如果具有均匀的物理性质，称为处于某相。比如水可以处于固相，液相，气相。相变（PhaseTransition）：从一种相转变成令一种相。比如冰融化就是水的固液相变。例如：水的三态之间的转变，铁磁，顺磁，反铁磁之间的转变，超导体与正常导体的转变，超流与正常流体的转变，几何相变：渗流，量子相变：光晶格BEC的超流-绝缘转变等等。一级相变（FirstOrderPhaseTransition）：内能不连续（潜热），两相（或多相）共存。内能连续（没有潜热），两相（或两相以上的相）区别消失成为新的相。比热，磁化率等自由能二级导数发散。二级相变点称为临界点（CriticalPoint）。在这点附近系统表现出非常特殊的性质称为临界现象（CriticalPhenomena）。Widom为显现不同长度尺度的现象发展了普遍且可操作的方法，这个方法经过一些修改，可以用在一些其它的重要而尚未解决的问题上。液体和气体中的湍流就是一个典型的例子，在这一现象中出现了许多不同的长度尺度［2］。在大气中可以找到从最小的尘埃旋涡到地球表面的飓风这样一些尺度的湍流。Widom的新思想在粒子物理学中也有应用。他把他的理论作些修改，成功地运用到粒子物理学的前沿问题，特别是夸克囚禁问题。Widom的理论方法代表了一种新的理论形式，它可对相变的临界现象这一经典问题给出了完全的解答，不仅如此，它还有很大潜力可以用于解决其它一些重要而直到今日还未解决的问题。1971年Widom把量子场论中的重整化概念应用到相变理论中，并运用标度律和普适性概念，创建了重整化群理论。所谓标度变换形象地说就是尺度变换。发生连续相变时，系统内部出现各种尺度的涨落，这种涨落用关联长度来描述。在临界点附近，关联长度趋向于无穷大［3］。因此，表征体系特征的有限大小的特征长度相对于关联长度而言都已经变得不重要了，在临界点处，关联长度是唯一有意义的特征长度。由于标度变换只是个宏观尺度的变换，因此，标度理论只是一种唯象的理论，不能用它来计算出各种临界指数的具体数值，但是，可以用它建立一些临界指数之间的关系式，可以减少独立临界指数的数目，从而减少计算的工作量，并有利于与实验进行比较。人们已经得到了铁磁系统各临界指数之间的关系式，例如：„+2p+,€2；„+卩9+1）€2；,€v（2-耳）；„€2-d这些关系式分别被称为vRushbrooke、Widom、Fisher、Josephson标度律。其中的d表示空间维数，a，B,Y，§，n，v分别描述比热、自发磁化强度、零场磁化率、磁场强度、关联函数和关联长度在临界点附近的行为［6］。显然，所有的临界指数中只有两个是独立的。标度理论虽然建立了临界指数之间的一些关系式，但是它却不能解决临界指数的计算问题。普适性是由Griffiths在总结实验数据的基础上提出来的，后来在重整化群理论中得到了极自然的解释，而且在随后的一些实验中得到了进一步地证实。普适性是指自然界中各种完全不同的物质系统，当它们发生相变时，其临界行为可能划分为若干普适类，属于同一类的系统具有完全相同的临界指数。普适类的划分是由系统的空间维数及序参量的分量个数来决定的。Widom建立了一整套研究相变与临界现象强有力的理论体系一一重整化群理论。该理论成功地解决了从微观上计算临界指数的问题。所谓重整化就是从一个尺度到另一个尺度时相关量的一种变换，所建立的方程就是所谓的重整化群方程。从整体上看，重整化群变换一般分为坐标（实）空间重整化群变相变理论中的重整化群研究 第2页共7页换和动量空间重整化群变换两种。实空间重化群整变换可以用来求解离散型自旋变量的系统，而利用动量空间重整化群变换求解问题时必须将离散型自旋变量该成连续自旋变量，因此动量空间重整化群变换一般用来求解Gauss模型等自旋可以连续取值的系统。重整化群变换通常分为两个步骤：首先是利用格点消约变换（decimation）,格点-元块变换（site-block）,或者梅格达尔-卡丹诺夫键移（Migdal~Kadanlffbond-moving）变换等方法，在保证配分函数不变的条件下，减少系统中自由度的“粗粒化”过程；然后是重新定义单位长度使经过第一步变换后变长的长度坏副到变换前取值的“重标度”过程。在临界点，关联长度趋于无穷大［4］。因此，体系具有尺度变换下的不变性，系统在标度变换下的不变性表现为在重整化过程中存在不动点。重整化变换的目的就是要找到这样的不动点，进而确定系统的临界点和临界性质。与传统的方法相比较，重整化群的优点是不直接求解系统的配分函数，而是找尺度变换下的不变性，从而确定系统的不动点，进而再根据变换理论求出系统的临界点和临界指数。由于引进了重整化群思想，相变理论的研究在近三十年得到长足的发展，并且始终是凝聚态理论研究中一个十分活跃的领域。Widom发展的重整化群理论，不仅为唯象的标度理论提供了微观基础，而且为计算临界指数提供了强有力的工具。特别重要的是，它可以把普适性极其自然地包含在其理论之中，从而使得我们对临界现象的认识更近了一步。此外，Widom重整化群方法在临界现象理论中的成功运用，特别是与不动点有关的物理讨论，反过来又加深了人们对以往重整化群理论的理解。近十多年来，重整化理论有了迅速的发展，除了用于研究平衡相变（静态临界现象）以外，已开始应用到非平衡相变（动态临界现象）。事实证明重正化群理论的提出使相变理论的研究取得了突破性的进展标度变换形象地说就是尺度变换。发生连续相变时，系统内部出现各种尺度的涨落，这种涨落用关联长度来描述。在临界点附近，关联长度趋向于无穷大［5］。因此，表征体系特征的有限大小的特

征长度相对于关联长度而言都已经变得不重要了，在临界点处，关联长度是唯一有意义的特征长度。由于标度变换只是个宏观尺度的变换，因此，标度理论只是一种唯象的理论，不能用它来计算出各种临界指数的具体数值，但是，可以用它建立一些临界指数之间的关系式。利用这些关系式，可以减少独立临界指数的数目，从而减少计算的工作量，并有利于与实验进行比较。人们已经得到了铁磁系统各临界指数关系式，„+2P+,€2；„+卩(◎+1)€2；,€v(2-耳)；„€2-dvB,y，5，n，v分别描述比热、自发磁化强度、零场磁化率、磁场强度、关联函数和关联长度在临界点附近的行为［6］。显然，所有的临界指数中只有两个是独立的。标度理论虽然建立了临界指数之间的一些关系式，但是它却不能解决临界指数的计算问题。普适性是由Griffiths在总结实验数据的基础上提出来的，后来在重整化群理论中得到了极自然的解释，而且在随后的一些实验中得到了进一步地证实。普适性是指自然界中各种完全不同的物质系统，当它们发生相变时，其临界行为可能划分为若干普适类，属于同一类的系统具有完全相同的临界指数。普适类的划分是由系统的空间维数及序参量的分量个数来决定的。Ising模型是伊辛于1924年提出的，Ising模型是铁磁体的一种最简单的理论模型，它可以近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，可以描述反铁磁体、气液相变和二元溶液相变等。在Ising模型中，假设自旋处于每个晶格的格点上，每个自旋只能取向上或向下两个态，即取+1和-1两个值。如果假设只存在最近相邻相互作用，它的有效哈密顿可表示为H=K工SS (1)ijij其中，S表示晶格格点i上的旋转，K表示约化的最近邻相互作用参数，K〉0和K〈0分别表示铁i磁体和反铁磁体，工表示对所有的最近邻自旋之间的相互作用求和。此系统的配合函数可以j表示为Z=j表示为Z=工exp(H)(2){Si}其中，乙代表对一切可能的自旋态{S}求和。i{Si}对于一维Ising模型的相变在统计物理教材中都是通过数学推导先求出系统的配合函数，然后再求相变点。这种方法推到较多很多人难接受。下面采用重整化群的方法研究这个问题。图二重整化群变化过程为了表述简单，取一维Ising模型链的一部分进行讲解(见图1)。在图1(a)中选取三个自旋变量的一维链，即存在两个相互作用。根据(1)式，它的有效哈密顿量可写为TOC\o"1-5"\h\zH=K(SS+SS) (3)a1 1b图1(b)表示经过一次重整化变换的一维链，在这个过程中，可以看出中间的自旋被消去。以S,',S'来表示图1(b)格点上的自旋，根据重整化变换后系统的配分函数保持不变，可a b

以写出下面的表达式以写出下面的表达式exp(H)二Aexp(H')上式中A是重整化常数，H'为重整化变换后的有效哈密顿量，它的表达式为TOC\o"1-5"\h\zH'=K'S，‘S' (5)a b由(2)和(3)可得变换前的配分函数为Z=€exp(K(SS+SS)) (6)a1 1b{Si}自旋S取+1和-I两个值，对上式求和消掉自旋S后，配合函数可辨识为11Z=exp(K(S+S))+exp(-K(S+S)) (7)ab ab由(2) (5)可得变换后的配分函数为Z'=€exp(K'S'S')。ab根据前后配分函数保持不变这个特点，考虑到(S,S)可以取(+1,+1)、(+1,-1)、(-1,TOC\o"1-5"\h\za b+1)和(-1,-1)四种组合，得到不重复的两个方程为Exp(2K)+exp(-2K)=Aexp(K') (8)2=Aexp(-K') (9)对上面两个方程求解，可以求出1 exp(2K)+exp(一2k)K'=-ln - (10)A=(2(exp(2K)+exp(—2K)) (11)(10)式就是RG变换的递推关系。由它出发可以求出系统的临界点。为了求得系统的不动点，令K'=K'=K”,由递推关系可以求得系统的不动点为K”=”根据K=J/(kT)可得系统的相变温度B为0即一维Ising模型只存在零温相变。由于二维Ising模型的配分函数求解过于复杂，在统计物理教材中没有介绍。下面继续采用重整化群的方法对二维正方形晶格上的Ising模型的相变进行讨论。正方形晶格是一种配位数均匀的平移对称晶格，它的空间维数为2•假设只存在最近邻相互作用K,该晶格上Ising模型的有效哈密顿量为H=K€型的有效哈密顿量为H=K€SSij(12)图三二维Ising模型的重整化群变换过程正方形晶格上Ising模型的键移和重整化群过程如图2所示⑹,S,S,S和S用来表示各ab12格点上的自旋。在图2的键移过程中，我们假设相互作用参数K随着键一起移动。根据假设，键移后的有效哈密顿量为TOC\o"1-5"\h\zH=3K(SS+SS+SS) (13)a1122b经过重整化群变换后内部格点Si和S2被消去，以$a',Sb'来表示变换后各格点上的自旋,变换后的相互作用参数用K'来便是，变换后系统的有效哈密顿量可写为H'=K'S,'S' (14)ab结合(2)和(13)求得变换前的配合函数为Z=€exp(3K(SS+SS+SS)) (15)a1 12 2b{Si}根据自旋S取+1和-1两个值，则自旋对(S,S)有(+1,+1)、(+1，-1)、(-1，+1)12和(-1,-1)四种组合，消去内部格点，(15)式重新写为Z=exp(3K(S+S+1))+exp(3K(S-S-1))+exp(3K(-S-S-1))+ab ab abexp(3K(-S+S-1)) (16)ab由(2)和(14)可得变换后的配分函数为Z'=€exp(K'S'S')。ab根据重整化群变换前后系统的配分函数保持不变，结合自旋对(+1，+1)、(+1，-1)、(-1，+1)和(-1，-1)的四种组合，可以得到下面两个方程3exp(-3K)+exp(9K)=Aexp(K') (17)3exp(3K)+exp(-9K)=Aexp(-K') (18)由上面两个方程，可以求得(19)3exp(，3K)+exp(9k)(19)ln3exp(3K)+exp(，9K)A=囂1°+3(exp(12K)+exp(，12K)) (20)(19)式为二维Ising模型的递推关系，由它发出可以求出系统的相变点为K”=0.241。用RG变换方法研究第一近邻格点的临界行为以往人们常常通过直接计算配分函数，进而求的热力学量及临界点的性质的方法来研究相变问题。在本节中，我们以一个简单的一维系统为例，来描述用来处理Gauss模型的部分格点相约的重整化群和自旋重标的RG变换方法。一维Gauss模型是具有自相似性的无穷结构。为简单起见，从一维伊辛模型链的无穷结构中取出一小片段进行RG变换。首先写出此小片段的有效哈密顿量为bH=K(ss+ss)-(s2+s2+s2) (21)12 23 2 1 2 3

自旋相约的实空间的RG变换过程,相互作用常数K就被k代替。这一过程可以通过下面的计算实现,€Aexp(H)…于dsexp{H}2—g通过对S从—到+-积分，我们得到222)Aexp(H')…exp{Kss-—(s2,s2)}22)€1221323)TOC\o"1-5"\h\z甘由g»2„k2、丄K k223)其中，匚…( )2,K—2 €—K'<0，对应于反铁磁体情况。(24)22)在(23)式中，为了使b为与温度无关的常数，我们引入自旋重标的做法，令s'…gs,i…(24)22)ij因为s能够取遍q到+8之间的一切实数值，所以经过自旋重标后，Gauss分布保持不变，式就可表为Aexp(H')…Aexp(H')…exp{K's's'-—(s'2,s'2)}€12213

KK'…R[K]…€=g2 b2一K225)bK226)(26)式是RG变换的递推关系，由此得临界点是27)28)27)和K*…-27)28)27)和2九…QR[K]所以K*…-2是一个不稳定不动点，是一个临界点。此处，b是标度因子，这里b=2,由28)式，得到关联长度临界指数是(29)经过RG变换后，反铁磁态变换为铁磁态⑻。用RG变化法研究第二近邻格点的临界行为如果选一包含四个格点的小片段进行RG变换，可写出此小片段的有效哈密顿量为~—30)H…K(ss,ss,ss)- (s2,s2,s2,s2)30)12 23 34 2 2 3 4分格点RG变换过程，相互作用系数K就被K'代替。对s和s在-8到+8内积分，得23Aexp{H*}…ffdsdsexp{H}23注意到经过RG变换后，格点1,4上的自旋仍反平行，仍是反铁磁态，则—H…K*s”s”一(s”2,s”2)14 2 1 4仍可得到临界点K*…-2(此时b=3)，关联长度临界指数为v…2。在T=0的反铁磁基态下，如果进行标度变换，将s与s进行积分，使其从配分函数中消去，则s与231s成为近邻，且s…-s，说明经重整化的最近邻自旋仍保持相反取向，保持了重整化前的零温特征。4 1 4若将S积分消去，这暗示着s与s之间存在着等效铁磁作用，出现了铁磁基态[10]。13结论：用重整化群的方法，研究了以为和二维Ising模型的相变。对于以为Ising模型的相变，得到了与平均场理论相同的结果；对于二维Ising模型的相变，不仅求得了系统的递推关系，还进一步求得了系统的相变点。在这篇文章中，研究了反铁磁物质的高斯模型上的临界性质，在一维反铁磁Gauss模型上相变的临界点和关联长度临界指数分别为K*€-b,v€1。我们用部分格点相约的重整化群和自旋重标相结合的RG变换方法得到了上述结论。这种方法从根本上改变了平均场理论，在对Gauss模型的研究很有效。为了使Gauss模型分布常数保持不变，在实空间重整化群变换中引入了自旋重标的方法，这种自旋重标的方法是超越了常规的自旋相约方法，并在李—杨的论文中被证明是成功的。在一维情况下，将此用重整化群方法得出的结果与实验值及用平均场理论的出的近似值，严格解，实验值放在下面的表格中进行对照。重整化群方法V€1平均场理论V€1严格解知亠十1V略大于怎2从表中不难看出，在一维晶格链上，用这几种方法得到的结果相同都非常接近实验值，这一方面论证了理论的可取性；另一方面单从得到的结果上看不出方法的差别来。用部分格点相约的重整化群变换和自旋重标相结合的方法仅仅求出了关联长度临界指数3v，同时由Josephson标度律，热容量岁温度变化的临界指数,,,€3-vd€刁，其中d为序参量临界指数，这里d=l。其它的临界指数，如序参量随温度的变化临界指数B，零场磁化率随温度的变化临界指数Y，序参量涨落临界指数n,序参量随磁场变化的临界指数。的求解需要考虑外磁场。由系统的哈密顿量卩为外磁矩，B为外磁场。但是对反铁磁体基态，不会出现宏观的磁矩，(19)式中的第二项塞曼能不起作用。参考文献：伍法岳.杨展如•相变与临界现象(I)[J].物理学进展.1,100-124(1981)。杨展如•分形物理学[M]•上海科技教育出版社，上海(1996)。相变理论中的重整化群研究刘杰等.Sierpinski镂垫上具有三体自旋作用的Gauss模型[J].物理学报.53,2275-2280(2004)李英，孔祥木，黄家寅.X分形晶格上Gauss模型的临界性质[J].物理学报.51,1346-1349(2002)。孙春峰•钻石分形晶格上Ising模型的配分函数与关联函数[J].物理学报.54,3768-3773(2005)。杨展如。分形物理学（第四版）【M】。北京：高等教育出版社，199661—70Y.Gefen，B.B.Mandelbrot，A.Aharony.Criticalphenomenaonfractallattices[J].Phys.Rev.Lett.45，855-858（1980）。Y.Gefen，A.Aharony，B.B.Mandelbrot.Phasetransitionsonfractals（I）[J].J.Phys.A.16，1267-1278（1983）。Y.Gefen，A.Aharony，Y.Shapir，B.B.Mandelbrot.Phasetransitionsonfractals.J.Phys.A.17，435-444（1984）。Y.Gefen，A.Aharony，B.B.Mandelbrot.Phasetransitionsonfractals（III）[J].Phys.Rev.B.