微分中值定理与导数的应用教案课件

回顾闭区间上连续函数的性质

1.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.2.零点定理：3.介值定理：回顾闭区间上连续函数的性质推论：在闭区间1一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagr2

函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质—变化率，它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的。这些中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质—变化3费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则费马证毕费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存4●●这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.

几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.典型情形的证明思想●中值定理演示（1）●●这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.5可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.

通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。

可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.6罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b7若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得例如,若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等8使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b9练习1：P1341由罗尔定理可知：又练习1：P1341由罗尔定理可知：又10例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)11练习2：P1347证:令若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根.练习2：P1347证:令若方程有一个正根12并指出它们所在的区间。分别在区间(

1,1),(1,2),(2,3)内。

证：显然,f(x)分别在闭区间[

1,1],[1,2],[2,3]上连续，5.设函数f(x)=(x+1)(x

1)(x

2)(x

3)，证明方程f

(x)=0有三个实根，且f(

1)=f(1)=f(2)=f(3).由罗尔定理，在(

1,1),(1,2),(2,3)内分别存在点

1,

2,

3，使得f

(

1)=f

(

2)=f

(

3)=0即方程f

(x)=0有三个实根，在开区间(

1,1),(1,2),(2,3)内可导，并指出它们所在的区间。分别在区间(1,1),(1,13二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连14拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在

I上必为常数.证:在I

上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上15例2.

证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在I上例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=16

分析且,证：练习3：P13414分析且,证：练习3：P1341417例3.

证明不等式分析：欲证上述不等式成立，只须证：只须证：为此只须证：关键！构造例3.证明不等式分析：欲证上述不等式成立，只须证：只须证：18例3.

证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有例3.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有19

用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅助函数,并定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间上满足定理的条件,然后由中值ξ所在的位置,放大或缩小,推出要证的不等式.方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小放大或缩小构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式解题思路：用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅助函数20练习4：P1349设，证明:

证:设中值定理条件,即因此即因此应有又0<b<

<a,且

n>1,所以

bn

1<

n

1<an

1

练习4：P1349设，证明:证:设中值定理条件,即21练习4：P13411(1)证设f(x)=arctanx,不妨设a<b.可知必定存在一点,使得因此arctanx在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.由于，因此即练习4：P13411(1)证设f(x)=ar22练习4：P13411(2)练习4：P13411(2)23三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[24证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯25柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率26例4.设至少存在一点使证:问题转化为证设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明例4.设至少存在一点使证:问题转化为证设则在[0,127内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日28作业P1346,8,10,14,预习：第二节洛必达法则提示:题*15.题14.考虑第二节作业P1346,8,10,1429微分中值定理与导数的应用教案课件30思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足312.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,323.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示334.

思考:在即当时问是否可由此得出

不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数4.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖34费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师35拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,36柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,广泛而深远.对数学的影响他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析数学的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主37备用题求证存在使1.设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得备用题求证存在使1.设可导，且在连续，证:设辅助函数因38设证明对任意有证：2.不妨设设证明对任意有证：2.不妨设39

练习证:练习证:40例5.

试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.41例5.

试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在例5.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[42并指出它们所在的区间。分别在区间(

1,1),(1,2),(2,3)内。证：显然,f(x)分别在闭区间[

1,1],[1,2],[2,3]上连续，5.设函数f(x)=(x+1)(x

1)(x

2)(x

3)，