湖南省株洲市醴陵东富中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省株洲市醴陵东富中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则A．函数的周期为

B．函数在区间上单调递增C．函数的图象关于直线对称

D．函数的图象关于点对称参考答案：C2.已知Sn表示等差数列的前n项和，且=(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:B3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2参考答案：D【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64，V四棱锥=Sh1==16，所以V=64+16=80．故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5.从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前2项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于40得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于40的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为9x+4，令9x+4≥40，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于40的概率为：．故选：B．【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基本知识的考查．6.若复数为纯虚数，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．或参考答案：A7.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是A． B．

C．

D．参考答案：由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．8.设a，b∈R，则“a+b≥4”是“a≥2且b≥2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=1，b=5满足条件．a+b≥4，但a≥2且b≥2不成立，即充分性不成立，若a≥2且b≥2，则a+b≥4成立，即必要性成立，即“a+b≥4”是“a≥2且b≥2”的必要不充分条件，故选：B．9.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（

）A.1 B.3 C.5 D.7参考答案：C【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值．【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行，i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4，第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4，第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4，第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4，程序运行终止，输出j＝5．故选：C．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．10.若，，，则A．

B．

C．

D．参考答案：答案:A解析：，，，二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等比数列满足，则

.参考答案：因为，所以。12.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为

．参考答案：6解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2,0)时取得最大值，.

13.一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：200＋9π略14.设复数为虚数单位,若为实数,则的值为

．参考答案：2略15.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为V==，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，所以该几何体的体积为．故答案为．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．16.已知数列满足且,则

.参考答案：2012略17.设是外接圆的圆心，，且，，

，则

.参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，,,为的中点，,=.（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（I）见解析；（II）.试题分析：（Ⅰ）欲证面面垂直，应先证线线垂直、线面垂直.注意到在中的边长关系，应用勾股定理逆定理可得为直角三角形，．又，且是的中点，可得，从而证得平面，即证得平面平面．又，平面又面平面平面．（6分）（Ⅱ）以点为坐标原点，建立如图

所示直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则有19.（12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设P（2，0），过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式≤λ（λ∈R）恒成立，求λ的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得a=，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2，当直线l垂直于x轴时，=，当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1），与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆Γ的中心在原点，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍，∴a=，c=1，a2=b2+c2，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∴=（x1﹣2，y1）?（x2﹣2，y2）=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2，当直线l垂直于x轴时，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2，且，此时，=（﹣3，y1），=（﹣3，y2）=（﹣3，﹣y1），∴=（﹣3）2﹣=，当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=k（x+1），由，消去y，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，∴==（1+k2）=（1+k2）?﹣（k2﹣2）?+4+k2==﹣＜，要使不等式≤λ（λ∈R）恒成立，只需λ≥（）max=，∴λ的最小值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．20.已知数列的前项和和通项满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；(Ⅱ)求证：；（Ⅲ）设函数，，求.参考答案：解：（Ⅰ）当时，∴，-------------------------------------------------3分由得∴数列是首项、公比为的等比数列，∴------5分(Ⅱ)证法1：

由得--------------------------7分，∴∴----9分〔证法2：由（Ⅰ）知，∴-----7分，∴----------------------8分即

------------------------------------9分(Ⅲ)

＝

----10分＝

--------12分∵

∴＝---14分21.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出线段AF、AB的垂直平分线方程，联立求得圆心坐标，由p+q≤0得到关于a，b，c的关系式，结合b2=a2﹣c2可得椭圆的离心率的取值范围；（2）当椭圆离心率取得最小值时，把a，b用含c的代数式表示，代入椭圆方程，设出M点坐标，求出（）?，然后对c分类求出最小值，然后由最小值等于求得c的值，则椭圆方程可求．解答： 解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2=b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c=2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即=，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭