【课件】三角函数的应用2课时 三角函数模型在生活中的应用 高一数学人教A版(2019)必修第一册

第五章三角函数5.7三角函数的应用课时2三角函数模型在生活中的应用教学目标1.借助用电量变化问题,了解现实生活中存在着大量的具有周而复始、循环往复特点的周期变化现象,它们可以用函数模型y=Asin(ωx+φ)+b近似地描述.2.借助港口水深问题,利用已知数据作出散点图,并根据拟合的曲线得到函数解析式,尝试结合信息技术处理数据,观察图象,并由图象求出近似函数模型y=Asin(ωx+φ)+h.3.熟悉建立三角函数模型解决实际问题的基本方法和一般步骤,进一步理解三角函数模型y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,掌握三角函数模型y=Asin(ωx+φ)的应用.学习目标课程目标学科核心素养了解具有“周而复始、循环往复”特点的周期变化现象可以用三角函数模型近似描述在用三角函数模型描述周期变化现象的过程中,培养直观想象、数学抽象等素养会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的现实生活问题在运用三角函数模型解决现实生活问题的过程中,培养数据分析、数学建模等素养掌握建立三角函数模型解决实际问题的基本方法和一般步骤归纳总结运用三角函数模型解决实际问题的基本方法和一般步骤,培养数学抽象、逻辑推理等素养情境导学某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下表是有关时刻与水深的数据：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线，经拟合，该曲线可近似看成正弦型函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h的图象，如图1.根据上述实际问题的背景以及具体数据表和图象，你能求出对应的函数解析式吗？初探新知【问题1】如图2，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0).从图上看，何时用电量最高？

【活动1】探究用电量变化问题的函数模型【问题2】从图2上看，何时用电量最低？【问题3】这一天8～14时的最大用电量差是多少？【问题4】请你试着写出这段曲线的函数解析式．【问题5】试根据情境导学中的数据表和图1，求出y＝Asin(ωt＋φ)＋h的解析式．【活动2】探究港口水深关于时间变化的函数模型及其应用【问题6】一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？【问题7】若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？典例精析

【例1】如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h(m)关于时间t(h)的函数解析式为________________________．

【方法规律】已知三角函数图象求函数解析式y=Asin(ωx+φ),一般情况下,可直接观察图象得出周期、振幅等,然后求出角速度,最后利用最大值点(或最小值点)求出初相.

【变式训练1】(多选)[2021·南通高一期末]心脏跳动时，血压会增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝a＋bsinωt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图象如图所示，则下列说法中正确的是()A.ω＝80πB.收缩压为120mmHgC.舒张压为70mmHgD.每分钟心跳80次BCD【解】【例2】

[2021·浙江省台州市金清中学高一期末]已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是该海滨浴场某日各时刻的海浪高度数据：经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求该函数的最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1m时海滨浴场才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天8～20时之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5思路点拨：根据已知的数据表画出散点图更容易观察出三角函数模型的周期、振幅、最值点等相关信息．(1)由题表可知，函数的周期为12，进而求出ω；然后根据最高和最低高度求得振幅A；将(0，1.5)代入解析式求出b，把A，b和ω代入，可得函数的解析式．(2)依题意，当y>1时，根据余弦函数的单调性求出t的范围，可得答案．【解】【方法规律】首先利用表中数据求出函数最小正周期和振幅，从而得出函数的解析式(相邻两个最大值或最小值刚好是一个最小正周期)，再利用函数的解析式建立关于时间t的不等式，通过解不等式使问题获解．要注意一天24h中，浴场的海浪高度变化是周期性的，且变化两个周期，因此我们计算可供冲浪者进行活动的时间不能只限制在一个周期内，而应在两个周期内加以考虑．

【变式训练2】[2021·广东省深圳市罗湖区高一期末]某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y(单位：千辆)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记为y＝f(t)，下表是某日桥上车流量的数据：经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b(其中A>0，ω>0，b>0，－π≤φ≤0)的图象．根据以上数据，求函数y＝f(t)的近似解析式．时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00y/千辆3.01.02.95.03.11.03.15.03.1【解】【例3】

[2022·陕西省咸阳市高一期中]某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数的解析式．

【解】【方法规律】解决三角函数的实际应用问题，应当充分用好题目的信息，注意从复杂的情境中抽取出基本的数学关系，再调动相关的数学知识和生活常识来实现问题的解决．其一般步骤如下：①阅读理解，审清题意；②搜集整理相关数据，建立三角模型；③所用三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，得出结果；④将所得结论转译成实际问题的答案．

【变式训练3】

以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份出厂价格最高为8元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店内的销售价格在8元的基础上按月份也随正弦曲线波动,并且已知5月份销售价格最高为10元,9月份销售价格最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件,且当月能售完,请估计哪个月盈利最大,并说明理由.【解】课堂反思通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2.你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练

A时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00y/m1215.112.19.111.914.911.98.912.1

AB3.