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g2ijg3jk 求逆变基g1g2g3g向量ag1g2g3aagi，求a 2ii 2iijjk2 gg

jk ~ 2 ~ ~ ~ ~ g11gg1ijjk1kji 3 2 ~ ~ 2 g ~ gg21gg1jk2ik 1

2

~ g ~ g31gg12ii ~g ~ ~ gij=𝐠𝐠𝐢𝐢⋅

gij= −1 (3)ai=𝐚𝐚⋅ a1=2x,a2=x+y,a3=y+已知笛卡尔坐标系e1e3,e3 6e 1e

12 e2 e

6e23

13 xxexexef(xx2x21 2 3 二维情况下，一质点应力张量σ主值σ1.6，σ2.3。主方向N 3e1e 2N1e

。应变张量ε主值1，2，主方向与应力张量相同。e e 2

2 N1N2为基，计算该质点处应变能密度求σij，使得σσijeie求ij，使得εεijeie以e1 e2为基，计算该质点处应变能密度𝛔𝛔,𝛔𝛔的球应力张量（记为P），和𝛔𝛔的偏应力张量（记为𝛕𝛕）N 3e1 N1e 3 NN 2 2 P P N

1~

[P] 0

0τσ

] 0 ABABtr(ATBtr(ABTtr(BATtr(BT(2)SΑAS Rxiyjzk。证明：在r00 求偏导，然后求和。注意R，的函对于任一向量场FvF1v1,v2,v3gF2v1,v2,v3gF3v1,v2,v3 ~ ~ 解：trFtrg g gg gg div F

F

F

j j

~

~ 设uvI1、I2、I3 I1uvtruvu ~ I2uv Iuv0I1trA3ItrA2Itr 解：（1）Iuvtruvtru gigjuvgig1

i

i~ uvugivgjuvgig ~ i j i 所以I1uvtruvu ~Iuv1truv2truvu ~ uvgigjuvgmgntruvgigjuvgmgn2i21

m ~ ~

i m

uvgigjuvgmgntruvuvgjgmgign2i21

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ijm ~

~ uvuvgjgmgignuvuvgjgmgign2ijm2

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~ uv1trA3ItrA2Itr31~

uvgigjuvgkgluvgmg

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~1truvuvuvgigjgkglgmgnuvgkgluvuvgjgmgign3

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