冀教版数学九年级上册第二十五章　图形的相似 素养检测（含解析）

第第页冀教版数学九年级上册第二十五章图形的相似素养检测（含解析）第二十五章素养综合检测

(满分100分,限时60分钟)

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.(2023河北石家庄新华质检)若a、b、c、d是成比例线段,其中a=

5cm,b=2.5cm,c=8cm,则线段d的长为()

A.2cmB.4cm

C.5cmD.6cm

2.如图,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与点A、C重合),DE与AB相交于点F,那么与△BFD相似的三角形是()

A.△BFEB.△BDA

C.△BDCD.△AFD

3.【新独家原创】如图,在5×6的方格纸中,有格点△ABC,若在①~④的位置任选其中一个为一点,使之与A,B两点构成的三角形与△ABC相似,则该位置的序号是()

A.①B.②

C.③D.④

4.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应高线,若AD=4,A'D'=2,则△ABC与△A'B'C'的周长比是()

A.2∶1B.2∶3C.4∶1D.4∶9

5.阳光通过窗口照到室内,在地上留下2.7m宽的亮区(如图),已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=8.7m,窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC等于()

A.2mB.4mC.6mD.1m

6.如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD上的点,连接AE交BD于点F,并延长交BC延长线于点G,若DE∶CE=3∶1,则AF∶FG=()

A.3∶4B.3∶5C.9∶16D.9∶25

第6题图第7题图

7.【数学文化】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法,如图所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察古井水面D点,视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD的长为()

A.2米B.3米

C.4米D.5米

8.如图,已知AB=4,CD=6,BD=10,AB⊥BD,CD⊥BD,在线段BD上有一点P,使得△PAB和△PCD相似,则满足条件的点P有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

9.(2022河北石家庄三模)对于题目“在相邻两边长分别为6和2的矩形内,分别剪下两个小矩形,使得剪下的两个矩形均与原矩形相似,请设计方案,使剪下的两个矩形周长和最大,并求出这个最大值”,甲、乙两名同学设计了自认为满足条件的方案,并求出了周长和的最大值.甲的方案:如图1所示,最大值为16;乙的方案:如图2所示,最大值为16.下列选项中说法正确的是()

图1图2

A.甲方案正确,周长和的最大值错误

B.乙方案错误,周长和的最大值正确

C.甲、乙方案均正确,周长和的最大值正确

D.甲、乙方案均错误,周长和的最大值错误

10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,下面四个结论:①AO∶AC=1∶3;②△ADO∽△CBO;③S△ADO∶S△CBO=1∶9;④若△CBO的周长为m,则△ADO的周长为3m,其中正确的是()

A.①②③④B.②③④

C.②③D.③④

二、填空题(每小题4分,共20分)

11.【开放型试题】(2022湖南邵阳中考)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加一个条件:,使△ADE∽

△ABC.

12.【跨学科·艺术】(2023北京海淀期中)当人体上半身长和下半身长的比为0.618∶1时,人的身长比例看上去更美观.小明的妈妈身长情况如下:上半身长为64cm,下半身长为102cm.她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观,于是她购买了一双6cm的高跟鞋.依据“黄金比”,这双高跟鞋的高度.(填“偏高”“合适”或“偏低”)

13.【教材变式·P87习题B组T2】(2022辽宁阜新中考)如图,在矩形ABCD中,E是AD边上一点,且AE∶DE=2∶1,BD与CE相交于点F,若△DEF的面积是3,则△BCF的面积是.

14.(2022河北秦皇岛期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的顶点都在坐标轴上,OA=4.若△CDO是以原点O为位似中心,△ABO的位似图形(点C和点A为一组对应点),且△CDO与△ABO的相似比为,则点C的坐标为.

15.【新情境·折叠梯子】图1是某个家用折叠梯子的示意图,使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形,BC=CD=DE=EL,将踏板往上收起时(如图2),从侧面看点A与点F重合,踏板可以看做与支架AL重合,将梯子垂直摆放时,量得点A离地面110cm,点H离地面65cm,则踏板宽BF=cm.在图1中,记支架AM交BF于点P,此时点G恰好在A的正下方,且量得PB∶PF=13∶4,则AM=cm.

图1图2

三、解答题(共40分)

16.(8分)如图,已知三条互相平行的直线l1,l2,l3分别截直线l4于点A,B,C,截直线l5于点D,E,F,直线l4与l5相交于点O,且AB=3,BC=5,EF=

8,OE=2.

(1)求DE的长;

(2)求OB的长.

17.【跨学科·物理】(8分)检查视力时,规定人与视力表之间的距离应为5米.现因房间内两面墙的距离为3米,因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表,如图,由平面镜成像原理作出了光路图,其中视力表AB的上下边经平面镜MM'反射后射入人眼C处.如果视力表的全长为0.8米,请计算出镜长至少为多少米.

18.(10分)如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP.

(1)求证:△ADP∽△BCP;

(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形;

(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长.

19.(2022河北玉田期中)(14分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,,点E在线段BD上,DE=2,点P从点B出发沿折线BA—AD匀速移动,到达点D时停止.

(1)边AD的长为;

(2)设点P运动的时间为t秒,若点P从B到A再到D共用时28秒,连接PE,请求出当△ABD被线段PE截得的三角形与△BCD相似时t的值.

答案全解全析

一、选择题

1.B根据成比例线段的定义,得ad=bc,代入a=5cm,b=2.5cm,c=8cm,得d=4cm.

2.B∵△ABC与△BDE都是等边三角形,∴∠A=∠BDF=60°,

∵∠ABD=∠DBF,∴△BFD∽△BDA,

∴与△BFD相似的三角形是△BDA.

3.C观察题中图形可知,当点在③位置时,△ABC与新三角形各对应边之比都等于.故选C.

4.A∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应高线,AD=4,A'D'=2,∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD∶A'D'=4∶2=2∶1.

5.B∵AE∥BD,∴,

∵CD=CE-ED=6m,∴,∴BC=4m.

6.A∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.

∴AD∥BG.∴△ADE∽△GCE.∴=3.

∴AD=BC=3CG.∴BG=4CG.

∵AD∥BG,∴△ADF∽△GBF.

∴.

7.B由题意可知AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,

∴,∴,∴CD=3米.

8.B已知AB=4,CD=6,BD=10,设BP=x,则PD=BD-BP=10-x.

∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°,

∴当时,△PAB和△PCD相似,

当时,,解得x=4,

经检验,x=4是分式方程的解.

当时,,解得x1=4,x2=6,

经检验,x1=4,x2=6均是原分式方程的解,

故BP=4或6.

∴满足条件的点P有2个.故选B.

9.D在题图1中,由题意可设两个矩形的宽,长分别为x,3x;y,3y,则有3x+3y=6,∴x+y=2,∴两个矩形的周长的和为8x+8y=16.在题图2中,由题意可设两个矩形的宽,长分别为m,3m;n,3n,则有m+n=2,∴两个矩形的周长的和为8m+8n=16.有另一种方案,如图,其中一个矩形的长为2,则宽为,在小矩形的旁边剪下大矩形,则大矩形的最长边的长为6-,宽为,则这两个矩形周长的和为2×>

16,所以甲、乙两个方案均错误.

10.C∵AD∥BC,∴△ADO∽△CBO,

∴,

∴,,故①错误,②③正确.

∵△ADO∽△CBO,

∴=3.

若△CBO的周长为m,则△ADO的周长为m,故④错误.

二、填空题

11.答案∠ADE=∠B(答案不唯一)

解析要使两三角形相似,已知∠A=∠A,则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可,∴当∠ADE=∠B时,△ADE∽△ABC.答案不唯一.

12.答案偏高

解析设满足黄金比时高跟鞋的高度为xcm,

由题意得64∶(102+x)=0.618∶1,∴x≈1.6,

经检验,x≈1.6是原分式方程的解.

∵6cm>1.6cm,∴这双高跟鞋的高度偏高.

13.答案27

解析∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC,AD∥BC,∴∠EDF=∠CBF.

∵∠EFD=∠CFB,

∴△DEF∽△BCF.

∵AE∶DE=2∶1,AD=BC,

∴DE∶BC=1∶3,

∴,即,∴S△BCF=27.

14.答案(2,0)或(-2,0)

解析∵OA=4,∴A(4,0),∵△CDO是以原点O为位似中心,△ABO的位似图形,且△CDO与△ABO的相似比为,∴点C的坐标为,即点C的坐标为(2,0)或(-2,0).

15.答案20;

解析设BF=xcm,BC=ycm,

根据题意可得

即BF=20cm.

连接AG,交BF于点N,连接ML,如图.

根据题意可得AG⊥BF,

∵BF=20cm,PB∶PF=13∶4,

∴PB=cm,

已知BC=22.5cm,CG=BF=20cm,AB=BF=20cm,

∵BF∥CG,∴△ABN∽△ACG,

∴BN∶CG=AB∶AC,

即BN∶20=20∶(20+22.5),

∴BN=cm,∴PN=PB-BN=cm,AN=cm,

∴AP=cm,

∵PB∥ML,∴△APB∽△AML,

∴AP∶AM=AB∶AL=20∶(20+22.5×4)=2∶11,

∴AM=cm.

三、解答题

16.解析(1)∵l1∥l2∥l3,∴,

∴,解得DE=.

(2)∵BE∥AD,∴,

∴,解得OB=.

17.解析如图,假设此时镜长最短且符合要求,过C点作CD⊥MM',垂足为D,并延长CD交A'B'于E,

∵AB∥MM'∥A'B',∴CE⊥A'B',

∴△CMM'∽△CA'B',∴,

又∵CD=CE-DE=5-3=2(米),CE=5米,A'B'=AB=0.8米,

∴,∴MM'=0.32米,

故镜长至少为0.32米.

18.解析(1)证明:∵∠DAP=∠CBP,∠DPA=∠CPB,

∴△ADP∽△BCP.

(2)△ADP与△BCP不是位似图形,因为它们的对应点的连线没有交于一点.

(3)∵△ADP∽△BCP,∴,∴.

又∠APB=∠DPC,∴△APB∽△DPC,

∴,即,

解得AP=6.

19.解