广东省茂名市高州南塘中学高三数学文期末试题含解析

广东省茂名市高州南塘中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D．2.已知则

(

)A.

B.

C.

D.π参考答案：B因为，所以即，故选B.3.已知集合，则A. B. C. D.参考答案：【答案解析】A

由则故选A.4.关于复数，下列说法中正确的是（

）A．在复平面内复数对应的点在第一象限．B．复数的共轭复数．C．若复数（）为纯虚数，则．D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上．参考答案：C略5.在，内角所对的边长分别为A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.已知全集且则等于(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略7.已知函数为偶函数，其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为，，若|x2－x1|的最小值为，则该函数的一个递增区间可以是A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.（5分）设函数f（x）=2x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数参考答案：A【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】：利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式．解：∵x＜0，∴，当且仅当即x=取等号故选项为A．【点评】：利用基本不等式求最值，注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足．9.对于函数，下列命题正确的是

A．函数f（x）的图象恒过点（1，1）

B．∈R，使得

C．函数f（x）在R上单调递增

D．函数f（x）在R上单调递减参考答案：A10.双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．参考答案：x﹣y﹣1=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的概念及应用．分析： 求出函数的导函数，取x=1得到函数在x=1处的导数，直接代入直线方程的点斜式得答案．解答： 解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．∴y′|x=1=1．∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，关键是区分给出的点是不是切点，是中档题也是易错题．12.函数的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则的最小值为___________.参考答案：4略13.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω=，a的最小值是．参考答案：2；【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式求ω，然后由图象过的已知点求出a．【解答】解：由已知函数图象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f（x+a））=sinω（x+a）且（，1）在图象上，所以sin2（+a）=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0时a的最小值为；故答案为：2；．14.已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径

．

参考答案：略15.已知，且，则

▲

．参考答案：略16.已知数列满足，，则的最小值为

．参考答案：

略17.在锐角中,若,则的范围是________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）由圆C的参数方程（φ为参数）知，利用平方关系可得圆C的普通方程．（II）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x2+（y﹣2）2=4．得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．设P（ρ1，θ1），代入，解得ρ1，θ1．设Q（ρ2，θ2），代入，解得ρ2，θ2．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）由圆C的参数方程（φ为参数）知，圆C的圆心为（0，2），半径为2，圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4．…（II）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x2+（y﹣2）2=4．得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…设P（ρ1，θ1），则由，解得．…设Q（ρ2，θ2），则由，解得ρ2=5，θ2=．所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=3．…19.已知向量，，记函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）的最值以及取得最值时x的集合．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）使用向量的数量积公式和二倍角公式化简f（x），利用正弦函数的单调性列出不等式解出；（2）根据正弦函数的性质列出方程解出．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+1+sin2x=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+）+2．令﹣≤2x+≤，解得﹣+kπ≤x≤+kπ．∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）令2x+=﹣+2kπ，解得x=﹣+kπ，此时f（x）取得最小值fmin（x）=0，∴f（x）取得最小值时x的集合为{x|x=﹣+kπ，k∈Z}．令2x+=+2kπ，解得x=+kπ，此时f（x）取得最小值fmax（x）=4，∴f（x）取得最大值时的集合是{x|x=+kπ，k∈Z}．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于基础题．20.设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…21.设函数（Ⅰ）若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围；（Ⅱ）当的图象有3个交点，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）要使内为单调增函数，只需恒成立.由

且时等号成立

故

（Ⅱ）当

令

当的变化情况如下表：+0-0+增函数极大值减函数极小值增函数

由

同理

所以当直线的图象有3个交点时，实数的取值范围为

.略22.如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH?平