湖南省衡阳市祁东县金玉盆中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省衡阳市祁东县金玉盆中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两曲线都经过点P（1，2），且在点P处有公切线，则=

（

）

A．0

B．2

C．3

D．4参考答案：B2.定义在上的函数，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是(

)A．有两个

B．有一个

C．没有

D．上述情况都有可能参考答案：A显然是偶函数，且在递增.在上恒成立，所以的图象至少向左平移2个单位，即，所以，方程的根有2个.3.设函数是二次函数,,若函数的值域是,则函数的值域是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B4.若向量，则下列说法中错误的是（

）A．

B．向量与向量的夹角为

C．D．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数，使得参考答案：D试题分析：，A正确；，B正确；，C正确；因此D错误，故选D．考点：向量的垂直，向量的共线，平面向量基本定理．5.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C． D．4参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（）．化z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z=，即3a+14b=20．∵a＞0，b＞0，∴，即．∴ab的最大值为．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．6.判断下列各命题,其中假命题的个数为（）（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个参考答案：C略7.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：C8.定义在上的函数满足，，则等于（

）A．2

B．3

C．6

D．9参考答案：C略9.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小。【详解】；；。故。故选A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。10.在平面直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）内，设，（），则的最大值为（

）A．

-1

B．1

C.

2

D．3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______参考答案：略12..在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)参考答案：20【分析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.13.设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为．参考答案：6【考点】简单线性规划；平行向量与共线向量．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据向量平行的坐标公式得到2x﹣y+m=0，作出不等式组对应的平面区域，利用m的几何意义，即可求出m的最大值．【解答】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．即m的最大值为6．故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．14.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是

．参考答案：15.已知直线l过点（1，1），过点P（-1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为______．参考答案：【分析】先根据垂直关系得到点M的轨迹为一个圆，然后用|CQ|减去圆的半径得|MQ|的最小值，加上半径得|MQ|的最大值．【详解】直线过定点设为A，则有A（1,1），设M（x，y），因为直线，则，所以，，即，化简为：，所以，点M的轨迹为以C（0,2）为圆心为半径的圆，∵|CQ|2，∴|CQ||MQ|≤|CQ|，即|MQ|≤3．故答案为：［，3］.【点睛】一般和圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

16.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线与圆于A，B，C，D四点，则|AB|．|CD|=________参考答案：417.已知复数的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_____.参考答案：2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2015秋?大理州校级月考）设a，b，c为正实数，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．参考答案：【考点】不等式的证明．

【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用综合法以及基本不等式直接证明；（Ⅱ）通过a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，结合基本不等式证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵a，b，c为正实数∴，当且仅当a=b=c时取等号．∵，∴，当且仅当a=b=c时取等号…（5分）（Ⅱ）∵a，b，c为正实数∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，同理

，∴，当且仅当a=b=c时取等号．…（10分）【点评】本题考查综合法以及基本不等式的应用，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力．19.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2﹣4．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先展开，再根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，α为参数，即可求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由有，即，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式有圆C的普通方程为：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，α为参数∴∴的取值范围为．【点评】本题考查极坐标方程化为普通方程，考查利用参数方程求x+y的取值范围，属于中档题．20.在数列中，，若函数，在点处切线过点(1） 求证：数列为等比数列；(2） 求数列的通项公式和前n项和公式.参考答案：（1）因为，所以切线的斜率为，切点（1，2），切线方程为又因为过点（），所以，即①所以，即数列为一等比数列，公比.(2）由（1）得为一公比为的等比数列，则

∴，21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．22.如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求异面直线AD与BE所成角的大小．

参考答案：证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．∴OE为△PAC