河北省石家庄市冀兴中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省石家庄市冀兴中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}各项为正，a3，a5，﹣a4成等差数列．Sn为{an}的前n项和，则=（）A．2 B． C． D．参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a3，a5，﹣a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4=a1q2﹣a1q3，由此即可求得数列{an}的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案．【解答】解：设{an}的公比为q（q＞0，q≠1）∵a3，a5，﹣a4成等差数列，∴2a1q4=a1q2﹣a1q3，∵a1≠0，q≠0，∴2q2+q﹣1=0，解得q=或q=﹣1（舍去）∴===故选C2.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么=(

)A.

B. C.

D.2参考答案：C略3.设集合，则CRA=（

）A． B．C． D．参考答案：D集合，则．4.若函数的导函数在区间上的图像关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（

）A．①④

B．②④

C．②③

D．③④参考答案：D5.设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当时，且。则不等式的解集是(

)参考答案：D略6.若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ()A．f(x)＝4x－1

B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1

D．f(x)＝ln(x－)参考答案：A7.棱长为a的正方体的外接球的体积为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D8.已知函数有两个零点，则有

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略9.函数的导数为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C10.已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知在上的投影分别为1与2，且，则所成的夹角的最小值等于

参考答案：12.已知函数有3个零点，则实数的取值范围是

.参考答案：因为二次函数最多有两个零点，所以函数必有一个零点，从而，所以函数必有两个零点，故需要，解得

答案13.已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。参考答案：，14.函数的定义域是________．参考答案：{x|－3<x<2}15.如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．参考答案：54【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．16.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，则=．参考答案：考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：以BC的中点O为原点，建立如图所示直角坐标系，可得B（﹣1，0），C（1，0）．设A（0，m），从而算出向量的坐标关于m的式子，由建立关于m的方程，解出m=2．由此算出的坐标，从而可得的值．解答：解：以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示．则B（﹣1，0），C（1，0），设A（0，m），由题意得D（，），E（，），∴=（，），=（1，﹣m），∵，∴×1+×（﹣m）=﹣，解之得m=2（负值舍去）由此可得E（，），=（﹣，），=（﹣1，﹣2）∴=﹣×（﹣1）+×（﹣2）=﹣．故答案为：﹣点评：本题给出等腰三角形的底面长，在已知两个向量的数量积的情况下求另外向量的数量积．着重考查了等腰三角形的性质、向量的数量积公式和向量的坐标运算等知识，属于中档题．17.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为，且，.（1）若数列{an}是等差数列，且，求实数a的值；（2）若数列{an}满足，且，求证：数列{an}是等差数列；（3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具有如下性质M：对于任意的，都存在使得，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合.参考答案：（1）3；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）首先根据，，求出，再计算即可.（2）首先由得到，由且，得到数列{an}的通项公式，即可证明数列{an}是等差数列.（3）有题意得：，然后对分类讨论，可知当，，时，数列{an}不具有性质.当时，对任意，，都有，即当时，数列{an}具有性质.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为，由，，得，解得，则，所以.（2）因为，所以，解得，因为，，，当为奇数时，.当为偶数时，.所以对任意，都有.当时，，即数列{an}是等差数列.（3）解：由题意，{an}是等比数列，.①当时，，所以对任意，都有，因此数列{an}不具有性质.②当时，，.所以对任意，都有，因此数列{an}不具有性质.③当时，.，.取（表示不小于的最小整数），则，.所以对于任意，.即对于任意，都不在区间内，所以数列{an}不具有性质.④当时，，且，即对任意，，都有，所以当时，数列{an}具有性质M.综上，使得数列{an}具有性质M的正实数的集合为.【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查等差数列的证明，第三问考查等差和等比数列的综合应用，属于难题.19.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．20.(本题满分12分)已知定点,,动点,且满足成等差数列.(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值.参考答案：(Ⅰ)由,,…2分根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,其长轴,焦距,短半轴,故的方程为.……4分(Ⅱ)设:,由过点的直线与曲线相切得,化简得

(注:本处也可由几何意义求与的关系)…………6分由,解得…………7分联立,消去整理得,…8分直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,所以……10分(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令,则,考查函数的性质知在区间上是增函数,所以时,取最大值,从而.………12分21.（1）求不等式的解集;（2）已知，求证：.参考答案：（1）[-2，2]

(2)证明：

，当且仅当时不等式取等号略22.（13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由甲3次均击中目标的概率为，利用相互对