山东省莱芜市鲁矿中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山东省莱芜市鲁矿中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的方程为（）A．

B．x2－=1

C．D．x2－=1参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的实轴长为2，可得a=1，离心率为，可得，可得c=，则b==2．则双曲线的方程为：x2﹣=1．故选：B．2.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】双曲线的标准方程H6C

解析：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5，∴抛物线的焦点为F（0，5），设双曲线的方程为，∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即，∴，解得（舍负），可得该双曲线的标准方程为．故选：C【思路点拨】根据抛物线方程，算出其焦点为F（0，5）．由此设双曲线的，根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程．3.若函数满足，则A.－1

B.－2

C.

2

D.0参考答案：B4.若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为A．3

B．5

C．7

D．10参考答案：B5.已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m＝0，从而f（x）＝﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.曲线在点处的切线方程是

A.

B.

C.

D.

参考答案：C7.已知集合,则等于

（）A． B． C． D．参考答案：B8.已知,是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A9.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A.

B.

C.

D.参考答案：A10.“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点（其中M点在第一象限），若，则直线l的斜率为

．参考答案：设倾斜角为，则

12.（4分）（2015?杨浦区二模）若，则x的值是．参考答案：log23【考点】：二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．【专题】：矩阵和变换．【分析】：根据矩阵的定义直接计算即可．解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．【点评】：本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．13.在数列{an}中，a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），则数列{an}的通项公式an=

．参考答案：

【考点】数列递推式．【分析】a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），n≥2时，a1+++…+=an﹣1．相减可得：=．再利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），n≥2时，a1+++…+=an﹣1．∴=an﹣an﹣1，化为：=．∴=…=2a1=2．∴an=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.过点A（1，1）作曲线y=x2（x≥0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S，则S=．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出直线方程，利用定积分的几何意义求S．【解答】解：因为点A的坐标为（1，1），过点A的切线的斜率为k=y'|x=1=2，故过点A的切线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令y=0，得x=，则S==；故答案为：．15.已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=

．参考答案：0考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数f（x）=，由内向外依次求函数值即可．解答： 解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2+2×（﹣2）=0，f（f（﹣2））=f（0）=20﹣0﹣1=0；故答案为：0．点评：本题考查了分段函数的应用，由内向外依次求函数值，属于基础题．16.已知下列四个命题：

①若；

②函数是奇函数；

③“”是“”的充分不必要条件；

④在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形.其中所有真命题的序号是

.参考答案：①②④，所以①正确；为奇函数，所以②正确；由可知，所以“”是“”的充要条件，所以③不正确；由得,所以，所以，即，所以△ABC是直角三角形，所以④正确，所以真命题的序号是①②④.17.若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为

．参考答案：1120三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．（1）求椭圆E的方程；（2）在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作⊙O:的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．参考答案：解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为----------------------------------------------------------1分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)，----------------------------3分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------4分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上，---------------------------------------------------------6分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个．--------------------------------------------------8分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，--------①------------------------------------------------6分又∵点Q在椭圆E上，∴，-----------------②由①式得代入②式并整理得：，-----③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------8分（3）解法一：设点，由M、N是⊙O的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------9分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为，------------------------------10分即-----④即点M、N满足方程④，又点M、N都在⊙O上，∴M、N坐标也满足方程⊙O:---------------⑤⑤-④得直线MN的方程为，------------------------------11分令得，令得，∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值.-----------------------------------12分解法二：设点则----------9分直线PM的方程为化简得--------------④同理可得直线PN的方程为---------------⑤------------------10分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为，------------------------------------------------------11分令得，令得，∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值．---------------------------------------------12分

19.选修4－5：不等式选讲已知(a是常数，a∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式的解集．（Ⅱ）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）∴的解为． 5分（Ⅱ）由得,． 7分令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点． 10分略20.

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．

(I)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；

(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;(Ⅲ)当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．参考答案：解：（1）依题意，得，

解得.

…………4分（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，

依题意，共有10种可能.

由（1）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．

……8分（3）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件，

当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，

所有可能的成绩结果有种，

它们是：，，，，，，，

，，

事件的结果有7种，它们是：，，，，，，.

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率……12分

略21.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求证：a，b，c成等差数列；（3）若△ABC周长为30，∠C的平分线交AB于D，求△CBD的面积．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由C=2A，得到sinC=sin2A，求出sinC与sinA之比，利用正弦定理求出c与a之比即可；（2）由cosC=cos2A，把cosA的值代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，进而得到sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化简即可得证；（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，过D作DE⊥AC，交AC于点E，由∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分线交AB于点D，得到AD=CD，求出AE的长，在三角形ADE中求出AD的长，利用角平分线定理求出BD的长，利用三角形面积公式求出三角形BCD面积即可．解答：解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，∴==2cosA=，则由正弦定理得：c：a=sinC：sinA=3：2；（2）∵cosC=cos2A=2cos2A﹣1=2×﹣1=，∴sinC==，∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C