数据包络法课件

数据包络分析法数据包络分析法1一、思想和原理一、思想和原理2一、思想和原理一个经济系统或一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。这样的单元被称为决策单元（DecisionMakingUnits，DMU）。一、思想和原理一个经济系统或一个生产过程可以看成一个单元在3一、思想和原理

DMU的概念是广义的，可以是一个大学，也可以是一个企业，也可以是一个国家。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下特征的DMU集合：①具有相同的目标和任务；②具有相同的外部环境；③具有相同的输入和输出指标。同一个DMU的不同时段也可视为同类型DMU。一、思想和原理DMU的概念是广义的，可以是一个大学，也可以4一、思想和原理评价的依据是决策单元的“输入”数据和“输出”数据。根据输入和输出数据来评价决策单元的优劣,即评价单位间的相对有效性。每个决策单元的有效性将涉及两个方面：①建立在相互比较的基础上，因此是相对有效性；②每个决策单元的有效性紧密依赖于输入综合与输出综合的比（或理解为多输入—多输出时的投入—产出比）。一、思想和原理评价的依据是决策单元的“输入”数据和“输出”数5二、特点与优势二、特点与优势6二、特点与优势数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis，简称DEA）是著名运筹学家Charnes

Cooper,与

Rhodes(1978)以“相对效率”概念为基础，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法。决策单元相对有效称为DEA有效。二、特点与优势数据包络分析（DataEnvelopment7二、特点与优势自从1978年提出第一个DEA模型－模型以来，DEA方法不断得到完善并在实际中被广泛运用，DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，这主要体现在以下几点：

二、特点与优势自从1978年提出第一个DEA模型－8二、特点与优势（1）DEA以决策单元各输入输出的权重为变量，从最有利于决策单元的角度进行评价，从而避免了确定各指标在优先意义下的权重；（2）假定每个输入都关联到一个或者多个输出，而且输出输入之间确实存在某种关系，使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。（3）DEA最突出的优点是无需任何权重假设，每一输入输出的权重不是根据评价者的主观认定，而是由决策单元的实际数据求得的最优权重。因此，DEA方法排除了很多主观因素，具有很强的客观性。二、特点与优势（1）DEA以决策单元各输入输出的权重为变量，9三、模型和步骤三、模型和步骤10三、模型和步骤在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类型的部门、企业或者同一单位不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。

评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标是决策单元在社会、经济和管理活动中需要耗费的经济量；产出指标表明经济活动产出成效的经济量。根据投入指标数据和产出指标数据评价部门、企业或时期之间的相对有效性。三、模型和步骤在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类11三、模型和步骤设某个DMU在一项生产活动中的输入向量为,输出向量为。

我们可以用（x，y）来表示这个DMU的整个生产活动。现设有n个DMUj（1≤j≤n），DMUj对应的输入、输出向量分别为：而且xij>0,yrj>0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,s（见图1）C2R模型三、模型和步骤设某个DMU在一项生产活动中的输入向量为12三、模型和步骤C2R模型定义：

123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmn

y11y12y13…y1j

…y1n

1

u1

y21y22y23…y2j…y2n

2u2.....….

.....yrj

…..ur.....…..

ys1ys2ys3…ysj

…ysn

sus权系数m种输入n个决策单元s种输出权系数图1三、模型和步骤C2R模型定义：权m种输入n个决策单元s种输出13三、模型和步骤C2R模型xij为第j个决策单元对第i种类型输入的投入量；yrj为第j个决策单元对第r种类型输出的产出量。xij和yrj为已知的数据，可以根据历史资料得到。由于在生产过程中各种输入和输出之间的地位与作用不同，因此要对DMU进行评价，需要对它的输入和输出进行“综合”，即把它们看作只有一个总体输入和一个总体输出的生产过程，这样就需要赋予每个输入、输出恰当的权重。三、模型和步骤C2R模型xij为第j个决策单元对第i种类型输14三、模型和步骤C2R模型

问题是，由于我们对输入、输出量之间的信息结构了解较少或者他们之间的相互代替性比较复杂，也由于我们想尽量避免分析者主观意志的影响，我们并不事先给定输入、输出权向量：，而是先把它们看作变向量。然后在分析过程中再根据某种原则来确定他们。三、模型和步骤C2R模型问题是，由于我们对输入、输出量之间15三、模型和步骤C2R模型每个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数，我们可以适当的取权系数v和u，使得hj

≤1。三、模型和步骤C2R模型每个决策单元DMUj都有相应的效率评16三、模型和步骤C2R模型

现在，对第j0个决策单元进行效率评价。一般来说，越大，表明能够用相对较少的输入而得到相对较多的输出。如果我们要对进行评价，看在这n个DMU中相对来说是不是最优的。我们可以考察当尽可能地变化权重时，的最大值究竟是多少。三、模型和步骤C2R模型现在，对第j0个决策单元进行效率评17三、模型和步骤C2R模型如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：三、模型和步骤C2R模型如以第j0个决策单元的效率指数为目标18三、模型和步骤C2R模型其本质就是在保证所有决策单元的效率评价指数hj≤1的约束条件下，尽可能地变化权重系数，找到目标决策单元j0可能的最大值，以此为依据来判断其效率。三、模型和步骤C2R模型其本质就是在保证所有决策单元的效率评19三、模型和步骤C2R模型求解过程上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变化，令：

可变成如下的线性规划模型P：（P）三、模型和步骤C2R模型求解过程上述规划模型是一个分式规划，20三、模型和步骤C2R模型求解过程利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决策单元而言的。对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析。三、模型和步骤C2R模型求解过程利用线性规划的最优解来定义决21三、模型和步骤C2R模型求解过程规划P的对偶规划为规划D：（D）三、模型和步骤C2R模型求解过程规划P的对偶规划为规划D：（22三、模型和步骤C2R模型求解过程为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可变成：（D）将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划三、模型和步骤C2R模型求解过程为了讨论和计算应用方便，进一23三、模型和步骤C2R模型求解过程几个定理和定义：定理1

线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*，则有hj0*＝θ*

定义1若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效定义2若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ*

＞0，并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的定理2DMUj0

为弱DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1；DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0三、模型和步骤C2R模型求解过程几个定理和定义：24三、模型和步骤C2R模型求解过程DEA有效性的定义：我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效（2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术效率最佳和规模最佳（3）θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是技术效率最佳，也不是规模最佳三、模型和步骤C2R模型求解过程DEA有效