河南省开封市求实中学高三数学文联考试卷含解析

河南省开封市求实中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数

参考答案：A 2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有A.48种 B.72种C.96种 D.108种参考答案：B3.在区间[]上随机取一个数,则的概率是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略4.2013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（

）

（A）20种 （B）24种 （C）30种 （D）36种参考答案：B略5.已知函数y＝f(x)为偶函数，满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，，则的值等于(

)A.-1

B.

C.

D.1参考答案：D6.参考答案：C略7.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生。为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人

D．30人，50人，10人参考答案：B8.程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A．121 B．81 C．74 D．49参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．【点评】本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论，属于基础题．10.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则=（

）A．4

B．5

C.

D．7参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若（x+）12的二项展开式中的常数项为m，则m=

．参考答案：7920考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．解答： 解：（x+）12的展开式的通项公式为Tr+1=?x12﹣r?=2r??x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4；∴常数项m=24?=16×=7920．故答案为：7920．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．12.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份达到最低价5千元，根据以上条件可确定的解析式为

参考答案：略13.已知非空集合，则实数的取值范围是

.参考答案：略14.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为

．参考答案：13π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．15.已知不等式组表示的平面区域为M，直线所围成的平面区域为N。

（1）区域N的面积为

；

（2）现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为

。参考答案：16.圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是．参考答案：2x﹣3y﹣13=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先求得直线OP的斜率，可得弦AB的斜率，再用点斜式求得弦AB所在直线的方程．【解答】解：由于弦AB的中点为P（2，﹣3），故直线OP的斜率为=﹣，∴弦AB的斜率为，故弦AB所在直线的方程是y+3=（x﹣2），即2x﹣3y﹣13=0，故答案为：2x﹣3y﹣13=0．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．17.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，函数，（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若，求的值。参考答案：略19.已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数上为增函数，得g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．（2）当m=0时，求出f（x）、f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到单调区间，由极值定义可得极值；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，分m≤0，m＞0两种情况进行讨论，由题意知，只要在[1，e]上F（x）max＞0即可；【解答】解：（1）∵函数上为增函数，∴g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，≥0，∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故要使xsinθ﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，只需1×sinθ﹣1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，∵θ∈（0，π），∴θ=．（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．当m=0时，f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜2e﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞2e﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）的增区间是（0，2e﹣1），减区间是（2e﹣1，+∞），当x=2e﹣1时，f（x）取得极大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，①当m≤0时，x∈[1，e]，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．②当m＞0时，F′（x）=m+﹣=，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）max=F（e）=me﹣﹣4，只要me﹣﹣4＞0，解得m＞．故m的取值范围是（，+∞）【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，分别为线段，的中点.（1）证明：平面；（2）若平面，，求四面体的体积.参考答案：（1）证明：连接、，交于点，∵为线段的中点，，，∴，∴四边形为平行四边形，∴为的中点，又是的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）解法一：由（1）知，四边形为平行四边形，∴，∵四边形为等腰梯形，，，∴，∴三角形是等边三角形，∴，做于，则，∵平面，平面，∴平面平面，又平面平面，，平面，∴平面，∴点到平面的距离为，又∵为线段的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，又，∴.解法二：，平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，做于点，由，知三角形是等边三角形，∴，∵平面，平面，∴平面平面，又平面平面，，平面，∴平面，∴点到平面的距离为，又为线段的中点，∴，∴.18.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，分别为线段，的中点.（1）证明：平面；（2）若平面，，求四面体的体积.21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F、G分别是BC、B1C1、AA1、CC1中点.且，.（1）求证：BC⊥平面ADE；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）根据边长的关系可求得出和，根据直棱柱的性质可得平面，即可得，根据线面垂直判定定理即可得结果；（2）建立如图所示的直角坐标系，求出面和面的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得最后结果.【详解】（1）∵，，∴.∵是的中点，∴，∵为直三棱柱，，为，中点，∴平面，∴，∴平面.（2）由（1）知建系如图，且，，，，∴，，设平面的法向量为，由，得.取，同理得平面法向量.∴，而二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为.22.已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求得h（x）的解析式和导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），求得切线的方程，对照已知直线y=g（x），可得a，b的式子，令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，t＞0，求得导数和单调区间，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），则h′（x）=++a=（x＞0），令y=ax2+x+1

…（2分）（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）（2）当a＞0时，△=1﹣4a，若△≤0，即a≥时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2=＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）当a＜0时，△=1﹣4a＞1，由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减

…综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减．…（6分）（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），则切线方程为y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，亦即y=（+）x+