广东省肇庆市中洲中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

广东省肇庆市中洲中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若二项式的展开式中的常数项为70，则实数可以为（

）A．2

B．

C．

D．参考答案：【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B解析：解：二项式定理的通项公式可得：，令，所以常数项为，解得.【思路点拨】利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，然后解出a的值．2.函数在区间上零点的个数为

（）A.3

B.4

C.5

D.6

参考答案：C3.某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）日期12345678910门票收入（万元）801201109165771311165577

A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出大于115的．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出门票大于115的天数．由统计表可知：参与统计的十天中，第2、7、8这3天门票大于115．故最终输出的值为：3故选：A．4.已知为奇函数,当时,,当时,的最小值为1,则的值等于(

)

A.

B.1

C.

D.2参考答案：B略5.设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（） A． B．﹣ C．或﹣ D．或参考答案：A【考点】两角和与差的余弦函数． 【专题】三角函数的求值． 【分析】注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果． 【解答】解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=， ∴sinα==； 同理可得， ∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=， 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题． 6.已知等比数列的前项和为，且，，则=

A.

B.

C.

D.

参考答案：A7.已知函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（

）

参考答案：C略8.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则f（﹣2）=（）A．1 B．﹣1 C． D．参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由奇函数将f（﹣2）转化为f（2）求解．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1故选B9.已知函数

(

)A.1

B.2

C.

3

D.

4参考答案：B略10.三视图如右图的几何体的全面积是A．

B．C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且bi=ai2（i=1，2，3），则数列{bn}的公比为

．参考答案：3+2【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得d＞0，由数列{bn}为等比数列，可得b22=b1?b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{bn}为等比数列，∴b22=b1?b3，即（a1+d）4=a12?（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1?（a1+2d）

①或（a1+d）2=﹣a1?（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{bn}的公比q==3+2，综上可得数列{bn}的公比q=3+2，故答案为：3+212.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为

．参考答案：y=±x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式和a，b，c的关系，可得b==a，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可得e==，即c=a，b==a，可得双曲线的渐近线方程y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．13.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为，单调递增区间为．参考答案：（﹣∞，﹣1）,（﹣1，+∞）.【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】去掉绝对值，判断对数函数y=log2|x+1|的单调性即可．【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1；∴当x＜﹣1时，函数y=log2|x+1|=log2（﹣x﹣1）是单调减函数，其单调递减区间为（﹣∞，﹣1）；当x＞﹣1时，函数y=log2|x+1|=log2（x+1）是单调增函数，其单调递增区间为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）．14.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_______。参考答案：12试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为

15.等差数列{an}中，且，，成等比数列，数列{an}前20项的和____参考答案：200或330【分析】根据等差数列中，且，，成等比数列，列出关于首项、公差的方程，解方程可得与的值，再利用等差数列的求和公式可得结果.【详解】设数列的公差为，则，，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，，于是，故答案为200或330.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.16.已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为

．参考答案：5【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．【解答】解：作出不等式组，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，由，可得A（2，1）平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（2，1）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为：5．故答案为：5．17.已知函数,若，则实数的取值范围是________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）当时，求的图象与直线围成的区域的面积；（2）若的最小值为，求的值.参考答案：解：（1）当时，的图象与直线围成区域的面积为；（2）当，即时，，所以，当，即时，，所以，所以或.19.设函数，（）.（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）参考答案：（Ⅰ）或（Ⅱ）当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（III）的最小值为.试题解析：解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或，

…………2分故所求方程的根为或.

………4分（2）因为，所以（），

……6分①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.

………10分（3）方法一：当时，，，所以单调递增，，，所以存在唯一，使得，即，

……………12分当时，，当时，，所以，记函数，则在上单调递增，

……14分所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为.

………16分方法二：当时，，所以，由得，当时，不等式有解，

……………12分下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得，

………14分当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为.

.……………16分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20.已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，且点(an，an+1)在直线x－y+1=0上．计算+++…+．参考答案：解：∵点(an，an+1)在直线x－y+1=0上，∴

an－an+1+1=0，即an+1=an+1，

3分∴

{an}是等差数列，首项和公差均为1，∴

an=1+(n－1)=n．

6分∴

Sn=1+2+…+n=，8分==2(－)

10分+++…+=2(1－)+2(－)+2(－)+…+2(－)=2(1－)=．

14分21.已知由n（n∈N*）个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），记SA＝a1+a2+…+an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.参考答案：（1）a1＝1，a2＝2；（2）证明见解析；（3）n最小值为11，an的最大值1010【分析】（1）考虑元素1，2，结合新定义SA，可得所求值；（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；（3）由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1，讨论当n＝10时，n＝11时，结合条件和新定义，推理可得所求.【详解】（1）由条件知1≤SA，必有1∈A，又a1＜a2＜…＜an均为整数，a1＝1，2≤SA，由SA的定义及a1＜a2＜…＜an均为整数，必有2∈A，a2＝2；（2）证明：必要性：由“a1，a2，…，an成等差数列”及a1＝1，a2＝2，得ai＝i（i＝1，2，…，n）此时A＝{1，2，3，…，n}满足题目要求，从而；充分性：由条件知a1＜a2＜…＜an，且均为正整数，可得ai≥i（i＝1，2，3，…，n），故，当且仅当ai＝i（i＝1，2，3，…，n）时，上式等号成立.于是当时，ai＝i（i＝1，2，3，…，n），从而a1，a2，…，an成等差数列.所以“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）由于含有n个元素的非空子集个数有2n-1，故当n＝10时，210﹣1＝1023，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.而用11个元素的集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数.因此当SA＝2020时，n的最小值为11.记S10＝a1+a2+…+a10，则S10+a11＝2020并且S10+1≥a11.事实上若S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜2a11，则a11＞1010，S10＜a11＜1010，所以m＝1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是2020＝S10+a11≥2a11﹣1，得，，所以a11≤1010.