第2章-信号处理中常用的数学变换课件

第2章信号处理中常用的数学变换

2.1傅里叶变换

2.2拉普拉斯变换

2.3

Z变换

2.4希尔伯特变换第2章信号处理中常用的数学变换2.1傅里叶变换2.1傅里叶变换

2.1.1傅里叶级数

2.1.2傅里叶积分

2.1.3傅里叶变换

2.1.4卷积与相关函数2.1傅里叶变换2.1.1傅里叶级数1.傅立叶级数2.1.1傅里叶级数FS1.傅立叶级数2.1.1傅里叶级数FS傅立叶系数是第次谐波的系数，所以在频率坐标轴上是离散的，间隔是。傅立叶系数是第次谐波的2.傅立叶变换：FTFS：若是非周期信号，可以认为：2.傅立叶变换：FTFS：若是非周期信号由有频谱密度由有频谱密度第2章-信号处理中常用的数学变换课件1.对应连续非周期对应连续周期；2.连续离散3.密度强度FTFS请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！1.对应连续非周期对应连续周期；FTFSFT存在的必要条件：说法1：说法2：因为FT存在的必要条件：说法1：说法2：因为因为所以，如果是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取更稳妥（即更严格）。因为所以，如果是绝对可积的，那么它一定周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；？那么，周期信号可否实现傅里叶变换在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，？那么，周期信号可周期信号FS周期信号FS例：令求其傅立叶变换。因为：所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：现利用函数将作傅立叶变换：例：令FSFT线谱FSFT线2.1.2傅里叶积分表达式是—傅里叶积分存在的条件是x（t）分段连续，且在区间内绝对可积。2.1.2傅里叶积分表达式是—2.1.3傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义2.1.3傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义1.

是离散的，所以变换需要求和；2.是的连续函数；3.是的周期函数，周期为；4.存在的条件是空间（二）特点1.是离散的，所以变换需要求和；可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是；5.DTFT7.由可以得到的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；6.是在单位圆上取值时的变换：可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，8.反变换8.反变换四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期

离散非周期

()FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS

？切实理解四种FT之间的对应关系四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期连续四种傅立叶变换四种傅立叶变换1.线性2.移位3.奇偶、虚实性质（三）性质1.线性2.移位3.奇偶、虚实性质（三）性质如果是实信号，即如果是实偶信号，即则是的实函数！如果是实信号，即如果4.如果则：5.如果则：时域卷积定理频域卷积定理！4.如果则：5.如果则：时域卷积定理2.1.4卷积与相关函数互相关：自相关：自相关函数的DTFT始终是的实函数！DTFT2.1.4卷积与相关函数互相关：自相关：自相关函数的DT2.2拉普拉斯变换

2.2.1拉普拉斯变换的概念

2.2.2拉普拉斯变换的性质

2.2.3拉普拉斯变换的应用2.2拉普拉斯变换2.2.1拉普拉斯变换的概念2.3

Z变换

2.3.1离散时间序列与Z变换

2.3.2

Z变换的性质

2.3.3

Z逆变换2.3Z变换2.3.1离散时间序列与Z变换时域：复频域：2.3.1离散时间序列与Z变换Laplace变换

时域：复频域：2.3.1离散时间序列与Z变换Laplac所以Fourier变换

频域：所以，傅里叶变换是仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为所以Fourier变换频域：所以，傅里叶变换是对离散信号，可否做拉普拉斯变换？令：对离散信号，可否做拉普拉斯变换？令：则：得到：

拉普拉斯变换对应连续信号变换对应离散信号关系？离散信号的z变换则：得到：拉普拉斯变换对应连续离散时间序列的傅里叶变换，DTFT平面平面离散时间序列的傅里叶变换，DTFT平面平面平面平面频率轴定标频率轴定标例1：求序列x

(n)=anu(n)的Z变换。解：为保证收敛，则收敛域

Z平面若a=1,则例1：求序列x(n)=anu(n)的Z变换。例2：{其他例2：{其他ROC:ROC:注意：注意：Z变换的定义例3：求序列x

(n)=(1/3)|n|的Z变换。解：|z|>1/3时，第二项收敛于，对应于右边序列。|z|<3时，第一项收敛于，对应于左边序列。当时：零点：0，极点：3，1/3收敛域

Z平面

Z变换的定义例3：求序列x(n)=(1/3)|n|的1.ROC：右边有限长序列2.ROC:双边有限长序列1.ROC：右边有限长序列2.ROC:双边有限长序列3.4.5.ROC:右边无限长序列ROC：左边无限长序列ROC:双边无限长序列思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？3.4.5.ROC:右边无限长序列ROC：左边无限长序列ROZ变换的收敛域Z变换的收敛域对于任意给定的序列，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为的收敛域。其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：根据级数收敛的阿贝尔定理对于不同的序列，可求得相应的收敛域。Z变换的收敛域Z变换的收敛域对于任意给定的序列，使其Z变换的收敛域收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛。有限长序列的收敛域为整个Z平面,可能除开z=0,z=

。右边有限长序列：X(z)=x(1)z-1+x(2)z2+····|z|>0左边有限长序列：X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+····|z|<

如果是右边序列，并且|z|=

位于收敛域内，那么，|z|>

也位于收敛域内。

越大收敛越快。所以，收敛域在圆外。Z变换的收敛域收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无如果是左边序列，并且|z|=

位于收敛域内，那么，0<|z|<

的全部z值也位于收敛域内。所以，收敛域在圆内。如果是双边序列，收敛域由圆环组成。收敛域右边序列的收敛域收敛域左边序列的收敛域收敛域双边序列的收敛域Z变换的收敛域如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么，0<|z逆Z变换当时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1，因此有:

逆Z变换当时，只有一个单阶极点z=a,当n<0时，线性性2.3.2

Z变换的性质序列的移位序列乘指数序列（尺度性）返回返回线性性2.3.2Z变换的性质序列的移位序列乘指数序列（尺度Z变换的性质与定理序列的反褶序列的共轭Z域微分性返回Z变换的性质与定理序列的反褶序列的共轭Z域微分性返回Z变换的性质与定理初值定理若x(n)为因果序列，它的初值为：若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：终值定理卷积定理返回Z变换的性质与定理初值定理若x(n)为因果序列，它的初值为：Z变换的性质与定理序列相乘（复卷积定理）Parseval定理返回Z变换的性质与定理序列相乘（复卷积定理）Parseval定理Z变换的性质与定理重抽样序列的Z变换对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n)。两者之间的关系为：

Z变换的性质与定理重抽样序列的Z变换对序列抽取运算时，将序列逆Z变换2.3.3

Z逆变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。逆Z变换的三种基本方法

围线积分法部分分式展开法长除法（幂级数展开法）围线积分法式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。

逆Z变换2.3.3Z逆变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域逆Z变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点

如果还满足在有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有:

若被积函数是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分。根据留数定理，等于围线C内全部极点留数之和，即:

逆Z变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点如果逆Z变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。如果为单阶极点，按留数定理:

如果为阶极点，则其留数为:

逆Z变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数

求原序列x(n)已知某序列的Z变换为:

解:并且当时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:

由于收敛域为，可知该序列必定是因果序列。例1:逆Z变换求原序列x(n)已知某序列的Z变换为:解:并且当逆Z变换例2：求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：a1/a收敛域|z|=|a|围线C∵所给收敛域为环域∴原序列必为双边序列|z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C逆Z变换例2：求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：a1/部分分式展开法逆Z变换用部分分式展开法求反Z变换，通常为有理分式。1、单极点若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：则其逆Z变换为：部分分式展开法逆Z变换用部分分式展开法求反Z变换，通常为有理逆Z变换说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1…,N)。2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：逆Z变换说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(逆Z变换2、高阶极点当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：式中Bk(k=0,1…,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：逆Z变换2、高阶极点当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时逆Z变换例：已知，求X(z)的原序列。

解：由求系数Ak的公式求得

因为X(z)的收敛域为，为因果序列，从而求得

将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式逆Z变换例：已知逆Z变换长除法（幂级数展开法）若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列x(n)的值。在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开；对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。

典型例题逆Z变换长除法（幂级数展开法）若把X(z)展开成z-1的幂级用长除法求

的逆Z变换。

由收敛域知，这是