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文档简介

第九节二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充分条件的证明一、问题的提出第九节二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式三、极值充分1一、问题的提出一元函数的泰勒公式一、问题的提出一元函数的泰勒公式2问题

能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.问题能否用多个变量的多项式来近似表3二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式4其中记号表示表示其中记号表示表示5一般地,记号证引入函数显然一般地,记号证引入函数显然6由的定义及多元复合函数的求导法则,可得由的定义及多元复合函数的求导法则,可得7利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得8),()0(00yxf=F),()1(00kyhxf++=F将,及上面求得的直到阶导数在的值,以及在)(tFn0=t)()1(tn+Fq=t的值代入上式.即得),()0(00yxf=F),()1(00kyhxf++=F9其中证毕其中证毕10其中其中11当0=n时,公式)1(成为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.当0=n时,公式)1(成为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式12二元泰勒展开ppt课件13例1解例1解14二元泰勒展开ppt课件15其中其中16三、极值充分条件的证明利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．三、极值充分条件的证明利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理17证依二元函数的泰勒公式，证依二元函数的泰勒公式，18)1(

设02>-BAC,即

因),(yxf的二阶偏导数在)(01PU内连续,由不等式)7(可知,存在点0P的邻域)()(0102PUPU蘿,使得对任一)(),(0200PUkyhx蝳++有)1(设02>-BAC,即因),(yxf的二阶偏导19注:将),(yxfxx在点),(00kyhxqq++处的值记为xxf,其他类似.注:将),(yxfxx在点),(00kyhxqq++处的值记20)2(

设02<-BAC,即)2(设02<-BAC,即21先假定,0),(),(0000==yxfyxfyyxx则.0),(00箎yxfxy分别令hk=及hk-=,则由)6(式可得及其中.1,021<<qq先假定,0),(),(0000==yxfyxfyyxx则.022

再证),(),(0000yxfyxfyyxx与不同时为零的情形.不妨.0),(00箎yxfxy先取0=k,于是由)6(式得再证),(),(0000yxfyxfyyxx与不同时23当h充分接近零时,

fD与),(00yxfxx同号.但如果取,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy=-=其中s是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当s充分小时,

fD与),(00yxfxx异号.),(00yxfD

如此证明了:在点的任意邻近,

可取不同符号的值,因此),(00yxf不是极值.考察函数及当h充分接近零时,fD与),(00yxfxx同号.但如果取24容易验证,这两个函数都以)0,0(为驻点,且在点)0,0(处都满足02=-BAC.但),(

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