电路分析基础讲义课件

§5-1电容元件

§5-1电容元件1.数字逻辑电路中的延迟现象产生这一现象的原因：构成逻辑门的晶体管或MOS管具有内部电容所致。

1.数字逻辑电路中的延迟现象产生这一现象的原因：构成逻辑门的2.电容器(capacitor)绝缘介质电容器是一种能够存储电荷乃至电场能量的器件。理想电容器应该只具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用，因而是一种电荷与电压相约束的器件。充电2.电容器(capacitor)绝缘介质电容器是一种能够存储3.电容元件电容元件是实际电容器的理想化模型。2.1定义：如果在任一时刻t，一个二端元件的端电压u(t)与其存储的电荷q(t)之间的关系可以用u-q平面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电容元件。2.2符号3.电容元件电容元件是实际电容器的理想化模型。2.1定义：3.电容元件2.3线性非时变电容元件：电容元件的特性曲线是u-q平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。即：2.4电容(capacitance):C

单位：法拉（F）

V,C微法()，皮法(pF)或：3.电容元件2.3线性非时变电容元件：电容元件的特性曲线是电容的VCR在关联参考方向下：非关联参考方向：通常，电压、电流采用关联参考方向。结论：某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。电容的VCR在关联参考方向下：非关联参考方向：通常，电压、电电容的动态特性

电容在直流电路中相当开路——隔直作用电容的动态特性电容在直流电路中相当开路——隔直作用在关联参考方向下：所以：1.电容电压的连续性质

在关联参考方向下：所以：1.电容电压的连续性质电容电压的连续性质

设电容电流波形虽然不连续，但电容电压波形却是连续的。（电容电压不能跃变）电容电压的连续性质：若电容电流在闭区间内为有界的，则电容电压在开区间内为连续的。特别是对任意时刻t，且有：电容电压的连续性质设电容电流波形虽然不连续，但电容电压波形证明

任取一点t，以t和t+dt分别作为积分上下限，且ta<t<tb

和ta<t+dt<tb

，则即由于i(t)在[ta,tb]内为有界的，所以，对所有在[ta,tb]内的t，必存在一个有限常数M，使|i(t)|<M，因而，在曲线i(t)下由t轴和上下限所界定的图形面积最大为Mdt,且当dt0时，该面积也将趋于零。这就意味着当dt0时，，亦即，在t处uc是连续的。证明任取一点t，以t和t+dt分别作为积分上下限电容电压的记忆性质i(t)是有界值结论1：在某一时刻t电容电压的数值并不只取决于该时刻的电流值，而是取决于从－

到t所有时刻的电流值，即电容电压与电流的全部过去历史有关。电容电压具有“记忆”电流的性质，电容是一种记忆元件。结论2：如果知道了初始时刻t0开始作用时的电流以及电容的初始电压uc(t0)，就能确定t

t0时的电容电压。电容电压的记忆性质i(t)是有界值结论1：在某一时刻t电例如图(a)所示，电容与一电流源相接，电流源的波形如图(b)所示，试求电容电压。设u(0)=0。

解：(1)先写出电流的函数表达式。例如图(a)所示，电容与一电流源相接，电流源的波形如图(b)(2)根据公式进行分段积分解（续）(2)根据公式解（续）解（续）电容的瞬时功率定义：任一时刻的功率称为瞬时功率。电容的瞬时功率为：某一时刻电容的储能：假设时电容无储能，则：电容的瞬时功率定义：任一时刻的功率称为瞬时功率。某一时刻电容结论：电容的功率有正有负，说明电容有时吸收功率，有时放出功率。例题结论：电容的功率有正有负，说明电容有时吸收功率，有时放出功率电容的储能电容储能>0电容不断储能<0电容向外电路释放能量结论：电容的能量总为正，但有时增加，有时减少。电容是无源元件。电容的储能电容储能>0电容不断储能<0电容向外电路释t1~t2期间电容储存或释放的能量：电容的储能结论：t1~t2期间电容储存或释放的能量只与t1、

t2时刻的电压值有关，而与此期间内的其他电压值无关。t1~t2期间电容储存或释放的能量：电容的储能结论：t1~t结论1、电容的储能本质使电容电压具有记忆性质；2、电容电流在有界条件下储能不能跃变,使电容电压具有连续性质。结论1、电容的储能本质使电容电压具有记忆性质；具有初始电压的电容等效电路

结论：一个已被充电的电容，如果已知初始电压uc(t0)=U0，则在t

t0时可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为U0。又称U0为电容的初始状态。具有初始电压的电容等效电路结论：一个已被充电的电容，如果已电容的串、并联

电容的串联

根据KVL:

等效电路

……电容的串、并联电容的串联根据KVL:其中：为等效电路电容的初始电压，是各串联电容初始电压的代数和。电容的串、并联其中：为等效电路电容的初始电压，是各串联电容初始电压的代数和Cs为等效电路的等效电容，其倒数为各串联电容倒数的总和。

电容的并联

（设电容初始电压为0）

根据KCL可得等效电容:

为各并联电容的总和。电容的串、并联Cs为等效电路的等效电容，其倒数为各串联电容倒数的总和。例题

如图所示电路中，各电容元件的电容值均为，试求端口ab的等效电容。解

例题如图所示电路中，各电容元件的电容值均为，试求端口ab的例题求如图所示电路中各电容元件上的电压。已知解两个1F电容并联的等效电容为：。

根据电荷平衡原理，3F上的电荷应与相等，所以有：上的电荷（A）

又因为

（B）（A）、（B）联立可求得：、例题求如图所示电路中各电容元件上的电压。已知解两个1F§5-2电感元件§5-2电感元件电感器(inductor)把导线绕成线圈即构成电感器（电感线圈）。电感器是存储磁场能量的器件。理想电感器只具有产生磁通从而建立磁场的作用，因而是一种磁链与电流相约束的器件。电感器(inductor)把导线绕成线圈即构成电感器（电感线电感元件

电感元件是实际电感器的理想化模型。2.1定义：如果在任一时刻t，一个二端元件的电流i(t)与其磁链

(t)之间的关系可以用i-

平面上的一条曲线确定，则称此二端元件为电感元件。2.2符号考虑电阻的电感器模型：电感元件电感元件是实际电感器的理想化模型。2.12.3线性非时变电感元件：电感元件的特性曲线是i-

平面上的一条过原点的直线，且不随时间而变化。电感元件即：2.4电感(inductance):L

单位：亨利（H）

W,A毫亨(mH)，微亨()或：2.3线性非时变电感元件：电感元件的特性曲线是i-平面上电感的VCR

关联参考方向：电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，电流的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则。结论：某一时刻，电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率。非关联参考方向：电感的VCR关联参考方向：电压的参考方向与磁链的参考方向符电感的动态特性电感在直流电路中相当于短路电感的动态特性电感在直流电路中相当于短路任选初始时刻t0后结论：某一时刻t的电感电流值取决于其初始值i(t0)以及在区间[t0,t]的所有电压值。电感的动态特性任选初始时刻t0后结论：某一时刻t的电感电流值取决于其初始1、在电感电压为有限值的情况下，电感电流不能跃变，将此性质称为电感电流的连续性。电容、电感的对偶性2、在某一时刻电感的储能为。假设时电感无储能。3、在某一时间段电感储存或释放的能量为：1、在电感电压为有限值的情况下，电感电流不能跃变，将此性质称

电感的串联（设电感初始电流为0）根据KVL：电感的串、并联

等效电路

电感的串联（设电感初始电流为0）根据KVL：电感的串、并其中：为等效电感，是各串联电感的总和。电感的并联根据KCL：电感的串、并联其中：为等效电感，是各串联电感的总和。电感的并联根据KCL：其中：为等效电路电感的初始电流，是各并联电感初始电流的代数和。Lp为等效电路的等效电感，其倒数为各并联电感倒数的总和。电感的串、并联其中：为等效电路电感的初始电流，是各并联电感初始电流的代数和试求如图所示电路端口ab的等效电感。例题解试求如图所示电路端口ab的等效电感。例题解将如图（a）所示电路化为最简形式。例题（a）（b）解等效电容为：等效电感为：等效电路如图（b）所示。将如图（a）所示电路化为最简形式。例题（a）（b）解§5-3忆阻元件§5-3忆阻元件至此，我们已经介绍了三种无源元件——电阻R、电容C和电感L，这些元件把电路的基本变量联系了起来如图：电路基本变量之间关系结构图和q之间还没有一个元件能将其联系起来只有元件对偶至此，我们已经介绍了三种无源元件——电阻R、电电路基本变量之和q之间存在类似R、L、C的第四类基本电路元件，并将其称为忆阻器，定义如下：

将M

称为忆阻，M是q的函数。并推出如下关系：

忆阻元件的符号下图所示。忆阻元件加州大学伯克利分校的华裔科学家蔡少棠提出在

忆阻元件和q之间存在类似R、L、C的第四类基本电路元件，并将其称为忆忆阻器的某些基本特性为：是耗能元件；具有记忆性；只有非线性忆阻器才有实际意义；只在交变状态才能正常工作

直到2008年5月1日，来自惠普实验室的四位科学家在Nature杂志上发表了题为“Themissingmemristorfound”的文章，宣布研制出了纳米尺度的忆阻元件。惠普实验室发现的忆阻器可以在纳米尺度上实现开关，这将极大地缩小存储器的体积，因此，对数字计算机的发展可能具有深远意义。忆阻元件忆阻器的某些基本特性为：是耗能元件；具有记忆性；直到2008§5-4换路定则及初始值的确定§5-4换路定则及初始值的确定电路通常都工作在一种稳定的工作状态，如果由于某种原因，例如电源或某部分电路的接通或断开、电路元件参数的改变等使电路的工作状态发生变化，使其由一种工作状态变化到另外一种工作状态，将这种工作状态的改变称为换路。在换路过程中，电路中的电量随时间而变化，所以我们把这个变化的过程称为过渡过程或瞬态。把对电路过渡过程的分析称为电路的瞬态分析。换路电路通常都工作在一种稳定的工作状态，如果由于在换路过程中，电在电容电流和电感电压为有界值的情况下，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变，我们将这一性质称为换路定则。用公式表示如下：在直流激励下，电容相当于开路，电感相当于短路，由此可以得到时刻的等效电路，并据此计算初始状态和。换路定则

时刻的等效电路是在时刻将电路中的电容用电压值等于的电压源代替，电感用电流值等于的电流源代替，独立源则取其在时的值得到的电路。在电容电流和电感电压为有界值的情况下，电容电压在直流激励下，例题1

如图（a）所示电路，开关S在时刻打开，S打开前电路已处于稳态，求开关打开后电路中各元件的电压值。

（a）

解开关打开前电容开路，所以例题1如图（a）所示电路，开关S在时刻打开，S打开前电路例题1开关打开后的等效电路如图（b）所示。此时；

；

（b）例题1开关打开后的等效电路如图（b）所示。此时；；（b例题2求如图（a）所示电路中的、、和（a）（b）解t=0时，开关闭合。时，开关未闭合，电感短路，等效电路如图时：，所示。（b）例题2求如图（a）所示电路中的、、和（a）（b）解例题2，，因为所以的单位换算说明如下：法拉第电磁定律：导体回路中感应电动势大小与穿过导体回路磁通量的变化率成正比例题2，，因为所以的单位换算说明如下：法拉第电磁定律：通过对前面例题的求解，可以总结出求初始值的计算步骤如下：1）由；等效电路计算和3）画出2）根据换路定则，，；等效电路，其中，电容用电压值为的电压源代替，电感用电流值为的电流源代替；4）用分析直流电路的方法计算待求量。计算步骤通过对前面例题的求解，可以总结出求初始值的计算步骤如下：；等§5-5一阶电路的零输入响应§5-5一阶电路的零输入响应内容提要RC电路的零输入响应RL电路的零输入响应小结几个定义内容提要RC电路的零输入响应RL电路的零输入响应小结几个定义

如果电路中除了电阻元件外，还含有电容、电感这些动态元件，则由于动态元件电压电流之间的微积分关系，此时就需要用微分方程进行描述。我们将至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。通常含有一个动态元件的电路用一阶微分方程描述，称其为一阶动态电路。1.几个定义如果电路中除了电阻元件外，还含有电容、电感这些动态元件，1.几个定义t

t0时的RC串联电路

说明：us在

t=t0时可能不连续，但电容电压却是连续的，零输入响应

零状态响应

＋1.几个定义tt0时的RC串联电路说明：us在t1.几个定义零状态响应(zerostateresponse--z.s.r)：在零初始状态下，仅由外加激励引起的响应。零输入响应(zeroinputresponse--z.i.r)：在没有外加激励情况下，仅由非零初始状态引起的响应。全响应(completeresponse--c.r)：零输入响应与零状态响应之和。因为零输入响应是依靠动态元件的初始储能进行的，所以，当电路中存在耗能元件时，有限的储能终将被消耗殆尽，零输入响应最终为零。所以，零输入响应是一个放电过程。返回1.几个定义零状态响应(zerostaterespon状态变量(statevariable)

电容、电感都属于动态元件——元件的

VCR涉及对电压、电流的微分或积分。

至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。

在动态电路中，电容电压和电感电流是电路的状态变量。

在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时刻的数值（初始状态），则根据所有在t

t0时的输入就能确定在t

t0时电路中的任何电路变量。状态变量(statevariable)电容、电感都属于2.RC电路的零输入响应KVL方程:

2.RC电路的零输入响应KVL方程:解得:

其中:电路中的电流:

放电电压、电流曲线:

2.RC电路的零输入响应解得:其中:电路中的电流:放电电压、电流曲线:2.RC电路的零输入响应时间常数：时间常数的单位：称为电路的固有频率(naturalfrequency)电压、电流衰减的快慢取决于时间常数的大小，越大，衰减越慢，反之则越快。

t=

时，电压下降为初始值的36.8%。工程上常取t=(4~5)

作为放电完毕所需时间。2.RC电路的零输入响应时间常数：时间常数的单位：称为电路的返回不同时间常数时的放电曲线返回不同时间常数时的放电曲线3.RL电路的零输入响应

KVL方程:

3.RL电路的零输入响应KVL方程:3.RL电路的零输入响应

放电曲线解得:其中:

电感电压（非关联参考方向）:

电路的固有频率：3.RL电路的零输入响应放电曲线解得:其中:电感电解：根据换路定则：返回例题解：根据换路定则：返回例题例题

如图所示电路中，已知；求时的和。（a）

解时，电容开路例题如图所示电路中，已知；求时的和。（a）解时，电容开例题时，与电容连接的等效电阻为：所以，

例题时，与电容连接的所以，例题或根据

时的等效电路求，如图（b）所示（b）例题或根据时的等效电路求，如图（b）所示（b）例题

如图所示电路中，电感元件已有初始储能，求时的（a）（b）解先求AB左端网络的等效电阻，如图（b）所示。例题如图所示电路中，电感元件已有初始储能，求时的（a）例题

由以上二式可得，所以与电感连接的等效电阻为：，例题由以上二式可得，所以与电感连接的等效电阻为：，4.小结

(2)

RC电路和RL电路的零输入微分方程具有相同的形式，可表示为如下一般形式：(1)

零输入响应是在输入为零时由非零初始状态产生的响应，它取决于电路的初始状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电感电流的初始值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的z.i.r。z.i.r：（指数衰减）4.小结(2)RC电路和RL电路的零输入微分方程具有相同

(3)

零输入响应线性：初始值增加k倍，零输入响应也增加k倍。

(4)

反映一阶电路特性的时间常数是特征根（固有频率）倒数的相反数。在电路理论中，固有频率用来表征电路的固有性质。固有频率是负实数表明响应总是按指数规律衰减的。

的零输入响应形式不仅适用于状态变量，也适用于非状态变量。

返回4.小结(3)零输入响应线性：初始值增加k倍，零输入响应也增加k§5-6一阶电路的零状态响应

§5-6一阶电路的零状态响应内容提要RL电路的零状态响应小结RC电路的零状态响应内容提要RL电路的零状态响应小结RC电路的零状态响应零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励源产生的响应。零状态响应是储能从无到有的建立过程——充电过程。

KVL方程：（一阶线性常系数非齐次微分方程）1.RC电路的零状态响应零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励源产生1.RC电路的零状态响应解的形式为：由初始值求得：1.RC电路的零状态响应解的形式为：由初始值求得：充电曲线时间常数：固有频率：终值（稳态值）1.RC电路的零状态响应充电曲线时间常数：固有频率：终值（稳态值）1.RC电路的零状不同时间常数时的充电曲线不同时间常数时的充电曲线充电过程中的能量电阻消耗的能量：（与R的大小无关）电容的最终储能：（与R消耗的能量相等）电源提供的总能量：充电效率为50%。1.RC电路的零状态响应返回充电过程中的能量电阻消耗的能量：（与R的大小无关）电容的最终2.RL电路的零状态响应KVL方程：解得：

2.RL电路的零状态响应KVL方程：解得：2.RL电路的零状态响应

充电曲线时间常数：固有频率：终值（稳态值）2.RL电路的零状态响应充电曲线时间常数解：例题解：例题

返回解（续）返回解（续）例题如图所示电路在时处于稳态，，求开关S闭合后的和

。。解:开关闭合后，因为左右两条支路的端电压相等，所以左右两部分电路是两个独立的部分，可以分别考虑。例题如图所示电路在时处于稳态，，求开关S闭合后的和。例题与电感连接的等效电阻为：右边电路的时间常数为：与电容连接的等效电阻为：当电路在达到稳态时，电感短路，电容开路，所以有：例题与电感连接的等效电阻为：右边电路的时间常数为：与电容连接例题左边电路的时间常数为：电感电流为：例题左边电路的时间常数为：电感电流为：(1)

零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的z.s.r。3.小结z.s.r：

(2)

一阶电路零状态微分方程的一般形式为:(1)零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取(3)

零状态响应线性：激励增长k倍，响应也增长k倍。

如果有多个激励，则零状态响应是每个激励单独作用产生的零状态响应的叠加。

零状态响应形式只适用于状态变量。返回3.小结(3)零状态响应线性：激励增长k倍，响应也增长k倍。如果§5-7一阶电路的全响应§5-7一阶电路的全响应全响应——由非零初始状态和外加激励共同作用产生的响应。微分方程的一般形式：全响应＝零输入响应＋零状态响应全响应全响应——由非零初始状态和外加激励共同作用产生的响应。微分方因为t0时零输入响应取决于t=0时的初始状态，而初始状态又取决于t<0时的输入，所以，t0时的全响应可理解为t<0时输入和t0时输入产生的响应的叠加。

自由分量

暂态响应强制分量

稳态响应全响应因为t0时零输入响应取决于t=0时的初始状态，而初如图所示电路，开关K闭合前电路已处于稳态，t=0时K闭合。试求uC(t)，t0。电路处于稳态(图a)解:(图b)(a)(b)例题如图所示电路，开关K闭合前电路已处于稳电路处于稳态(图a(1)零输入响应(图c)(c)(2)零状态响应

(图d)(d)

解（续）(1)零输入响应(图c)(c)(2)零状态响应(图(3)全响应根据叠加原理解（续）(3)全响应根据叠加原理解（续）(4)12V电压源改为24V电压源此时，只影响零输入响应，零状态响应不变。所以，全响应为：思考：如果36V电压源改为48V电压源结果如何？解（续）(4)12V电压源改为24V电压源此时，只影响零输入响应§5-8

一阶电路的三要素法

§5-8一阶电路的三要素法内容提要三要素法三要素法解题步骤问题的提出内容提要三要素法三要素法解题步骤问题的提出如果只对电路中的某一非状态变量感兴趣，是否有其他的直接求解方法？1.问题的提出三要素法：用于求解电路中任一变量的零输入响应和直流激励下的零状态响应、全响应。应用条件：一阶电路中的响应按指数规律变化；都有其初始值和稳态值；变化过程由时间常数惟一确定。返回如果只对电路中的某一非状态变量感兴趣，是否有其他的直接求解方2.三要素法则其解为：微分方程的一般形式：（恒定激励）其中：2.三要素法则其解为：微分方程的一般形式：（恒定激励）其中：2.三要素法初值终值(稳态值)全响应则所以三要素公式y(t)由初值y(0)、稳态值y()和时间常数

三个参量确定，将他们称为三要素。其中：或R0为戴维南或诺顿等效电阻。2.三要素法初值终值(稳态值)全响应则所以三要素公式y(t证明：结论：直流一阶电路中任一支路电压、电流都能应用三要素法求解，且同一电路中各电压、电流都具有同一时间常数。以一阶电容电路为例。将原电路分为两个单口网络，使其中之一只含电容，另一则包含所有电源和电阻——含源单口网络N1，则端口电压即为电容电压uC(t)，并可用三要素公式表示。即根据置换定理，用电压值为uC(t)的电压源置换电容不影响含源单口网络N1内部各电压、电流值。2.三要素法-时间常数证明：结论：直流一阶电路中任一支路电压、电流都能应以一阶电容其中H0、Hk、

Hi为取决于电路拓扑和元件参数值的常数。设单口网络N1中任意两节点j，k间的电压为ujk，且N1内部含有m个直流电压源Us1

、Us1、、Usm和n个直流电流源Is1、Is1、

、

Isn。则根据叠加定理：证明（续）其中H0、Hk、Hi为取决于电路拓扑和元件参数值的常数证明（续）其中：所以，直流一阶RC电路中任意两节点间的电压是按指数规律变化的，且与电容电压具有相同的时间常数。证毕证明（续）其中：所以，直流一阶RC电路中任意两节点间的电压是结论1：直流一阶RC电路中任意两节点间的电压及任一支路中的电流都是按指数规律变化的，且与电容电压具有相同的时间常数。结论2：直流一阶RL电路中任意两节点间的电压及任一支路中的电流都是按指数规律变化的，且与电感电流具有相同的时间常数。返回2.三要素法结论1：直流一阶RC电路中任意两节点间的电压及任一支路中的电3.三要素法解题步骤

(1)1.2.(2)3.三要素法解题步骤(1)1.2.(2)3.暂态分量稳态分量4.写出所求变量的函数表达式3.三要素法解题步骤

3.暂态分量稳态分量4.写出所求变量的函数表达式3.三要素法解:例题1解:例题1

解（续）解（续）解（续）解（续）解（续）解（续）瞬态稳态z.i.rz.s.r瞬态稳态z.i.rz.s.r解（续）瞬态稳态z.i.r例题2

已知下图桥型电路中的电容电压和电感电流的初始值都为零，时合上开关，设阻无限大，求开关闭合后：，电压表的内1）流过开关的电流2）电压表读数达到最大值的时间；3）电压表的最大读数。例题