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主讲教师:王升瑞高等数学第三十讲1主讲教师:高等数学第三十讲1齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第七章2齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第七章2一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:说明:有些一阶方程虽然不是可分离变量型,但可以根据方程的特点通过对未知函数作适当的变量代换,而化为可分离变量的方程.一阶齐次方程就是此类方程。3一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得积分后再例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,

y=0也是方程的解)(C为任意常数)4例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.5例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即例3.解微分方程解:代入上式并整理后则有分离变量并两边同时积分有：通解6例3.解微分方程解:代入上式并整理后则有分离变量并两边同求解微分方程微分方程的解为解例47求解微分方程微分方程的解为解例47解代入原方程原方程的通解为例58解代入原方程原方程的通解为例58求解微分方程解例6微分方程的解为9求解微分方程解例6微分方程的解为9(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.10(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程11原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述例6.

求解解:得再令Y＝X

u,得令令积分得12例6.求解解:得再令Y＝Xu,得令令积分得12得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:积分得代回原变量,得原方程的通解:令Y＝X

u13得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?

P3091(1),(4),(6);2

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