惯性释放法求解基础激励的动力响应问题

惯性释放法求解基础激励的动力响应问题

1.序言如果汽车在不平坦的路面上行驶，路面激励是汽车后桥的主要支撑，也是汽车后桥的主要破坏原因。2抗惯性释放法、大体积法和大刚度法的比较分析2.1惯性释放法的特点惯性释放法的基本思想是通过将固定坐标系转换为附着于汽车后桥上的活动坐标系,从而将加速度激励转换为惯性力,如图1所示。设{U}为汽车后桥相对于绝对坐标的位移向量,{U[D]为刚体位移矩阵。由于刚体位移不能引起结构的柔性振动,因而汽车后桥相对于绝对坐标的振动方程为将式(1)代入式(3)得将式(2)代入式(4)得自由振动方程为式(5)、式(6)与式(3)相比,质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵没有变化,因而结构的模态没有变化,只是在方程右面增加了一项代表基础激励作用下的惯性力为[M][D]{由以上分析可知,惯性释放法具有如下特点。(1)由于在求解之前,结构的刚体运动已被释放掉,因而在求解式(5)时避免了在积分过程中刚体漂移问题造成的误差(刚体漂移是指输出位移随时间的变化不断地增大,一般情况下刚体漂移是由于积分微分方程时误差的积累造成的)。(2)由式(5)求解得到的位移、速度和加速度向量{U}、{(3)由于结构的柔性变形与刚体运动无关,因而由位移向量求得的应变、应力场没有变化。(4)惯性释放法只能用于激励为加速度的情况,不能用于激励为位移或速度的情况。2.2大质量法和大刚度法2.2.1大质量法求解基础激励的动力响应问题的构造及分析将一个质量很大的集中质量(大于整个结构质量的10(7)式中M为集中大质量,式(8)的第j个方程为式(9)两边同除以M,由于M远大于m及上式中的其它项,可以认为从以上分析可知,用大质量法求解基础激励的动力响应问题实际上是将结构与基座连接处的固定约束变为随时间变化的加速度约束,从本质上讲是一种约束关系。2.2.2大质量法的原理对于基础激励为位移和速度的动力响应问题不能直接用以上所述的大质量法求解,但经过适当的变换仍可用上述方法求解。将基础位移激励写成复数形式U比较以上三式得将式(10)代入式(7)得由式(11)可知,当基础激励为位移或速度时,只要在前面分别乘以系数jω和—ω由以上分析可知大质量法具有如下特点。(1)由于在作约束处理时去掉了激励方向的自由度约束,因而增加了该方向上刚体模态,刚体模态代表该方向上的刚体运动,柔性模态不变。(2)由大质量法求得的位移可以是相对于绝对坐标系的,也可以是相对于活动坐标系的,即可以是绝对位移,也可以是相对位移。(3)大质量法可用于激励为位移、速度、加速度的情况。2.2.3求解效率较高大刚度法的解题原理与大质量法基本相同,只是将对应基础激励自由度的刚度k大刚度与大质量法相比,大质量法的求解精度和求解效率较高。因为大刚度法会造成结构的高阶模态,而用模态叠加法求解时往往会忽略高阶模态的存在,因而大刚度法不适合用模态叠加法求解。大刚度法适用于基础激励为位移的情况。此时,载荷的施加非常方便,不需要作其它变化,同时避免了两次微分造成的舍入误差。另外,大刚度法可以避免刚体漂移问题。其它情况下应用大质量法求解,避免用大刚度法求解。2.3lmt的求解Lagrange乘子法在有限元动力分析中是一种特殊的约束处理方法,它可用于处理单点约束(SPC)、多点约束(MPC)、刚性单元(RigidElement),也可以用于处理基础激励下的动力响应问题。与大质量法和大刚度法不同,LMT是一种精确求解方法,但LMT需要在矩阵中增加额外的自由度和数据,以表示相关的约束和激励。下面简要介绍一下LMT的解题方法。对于基础激励为位移、速度、加速度的情况,分别在刚度矩阵、阻尼矩阵和质量矩阵作相应的修改。对于激励为位移的情况,只对刚度矩阵作修改,作如下分块处理。式中I矩阵[M{U对于激励为加速度的情况,只对质量矩阵作修改,作如下分块处理。式中Y由式(13)可得3计算示例3.1桥壳断裂有限元模型某微型汽车后桥三维CAD模型如图2所示。汽车行驶时,受到来自路面的位移激励(基础激励),当汽车行驶大约1万km时,该后桥壳体在图2所示的位置发生断裂。经几何模型简化、边界条件处理,建立了如图2所示的有限元模型。后桥壳为薄壁壳体,将桥壳划分为3900个四边形壳单元,将主减速器壳、差速器壳、齿轮等作为集中质量处理,通过MPC(多点约束)将其与桥壳四边形单元联接起来。悬架质量用集中质量单元表示,并通过两个弹簧单元和两个阻尼单元与后桥连接在一起。3.2动力有限元模型正演结果利用MSC/NASTRAN70.5对以上有限元模型进行模态分析,计算结果见表1。由表1可知,计算结果与实验结果和理论值非常接近,表明该有限元模型是正确的。第一阶模态为刚体模态,即后桥的刚体振动模态;第二阶为后桥的横向刚性扭转振动模态,其包含了与后桥壳的弹性耦合作用;第三阶为后桥的纵向一阶弯曲模态;第四阶为后桥的垂直地面方向的弯曲模态;第五阶为后桥的纵向二阶弯曲模态;第六阶为后桥的扭转模态。3.3断裂位置处的动应力和加速度假设汽车在波形路面上行驶,则道路激励函数为式中S为路面位移激励,A为路面激励幅度(A=50mm),f为激励频率(f=20Hz)。分别利用大质量法和LMT法求解,计算断裂位置处交变应力和加速度,结果如图3、图4所示。图中的最大应力为断裂位置处的动应力,其余为其附近截面处的动应力。比较图3和图4,可知:(1)危险截面处的动应力明显高于其附近截面处的动应力,因此,后桥在该处断裂是由于该处的动应力较大。通过增大危险截面处的过渡圆弧半径,可解决该问题;(2)后桥上各处的加速度载荷变化不大;(3)用大质量法和LMT法计算的结果完全一致。4基础激励作用下的动力响应大质量法和LMT法是求解基础运动激励(位移、速度