福建省福州市盖山中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析

福建省福州市盖山中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于

A．-

B．1

C．-或1

D．-1或参考答案：A2.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A． B．3 C． D．2参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．3.在平面上，，，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：D根据条件知A，构成一个矩形以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，点O的坐标为则点P坐标为.由得则，又由，得则，即

①.又，得，则；同理由，得，即有②由①②知，所以.,故选,故选D.4.设f′（x）、g′（x）分别是函数f（x）、g（x）（x∈R）的导数，且满足g（x）＞0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0．若△ABC中，∠C是钝角，则（）A．f（sinA）?g（sinB）＞f（sinB）?g（sinA） B．f（sinA）?g（sinB）＜f（sinB）?g（sinA）C．f（cosA）?g（sinB）＞f（sinB）?g（cosA） D．f（cosA）?g（sinB）＜f（sinB）?g（cosA）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：∵=，当x＞0时，＞0，∴在（0，+∞）递增，∵∠C是钝角，∴cosA＞sinB＞0，∴＞，∴f（cosA）g（sinB）＞f（sinB）g（cosA），故选：C．5.设，若复数z为纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a等于(

)A.-1

B.0

C.1

D．参考答案：B6.若集合，，则集合等于（A）{－1,0,1}

（B）{－1,0,2} （C）{－1,1,2}

（D）{－1,0,1,2}参考答案：A7.已知集合m={x∈Z|﹣x2+6x＞0}，N={x|x2﹣5＜0}，则M∩N等于（） A．{1，2，3} B． {1，2} C． {2，3} D． {3，4}参考答案：考点： 交集及其运算．专题： 集合．分析： 求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答： 解：由M中不等式变形得：x（x﹣6）＜0，解得：0＜x＜6，即M={1，2，3，4，5}；由N中不等式解得：﹣＜x＜，即N=（﹣，），则M∩N={1，2}．故选：B．点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S的值是（

）A、－3B、－C、D、2参考答案：D9.若方程的根在区间内,,则的值为

（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C10.某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为（

）A

B

C

6

D

8

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为

▲

．参考答案：160令x=1，则所以因此常数项为

12.已知为第二象限角，，则=___________；参考答案：略13.抛物线的焦点坐标是________.

参考答案：14.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，记切点分别为，双曲线的左顶点为，若，则双曲线的离心率

▲；参考答案：略15.已知三棱锥A-BCD中，，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的体积为

．参考答案：16.在的展开式中，的系数等于参考答案：17.若复数为虚数单位）为纯虚数，则____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．19.已知f（x）=lnx﹣x+m（m为常数）．（1）求f（x）的极值；（2）设m＞1，记f（x+m）=g（x），已知x1，x2为函数g（x）是两个零点，求证：x1+x2＜0．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用导数判断f（x）的单调性，得出f（x）的极值；（2）由g（x1）=g（x2）=0可得，故h（x）=ex﹣x有两解x1，x2，判断h（x）的单调性得出x1，x2的范围，将问题转化为证明h（x1）﹣h（﹣x1）＜0，在判断r（x1）=h（x1）﹣h（﹣x1）的单调性即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣x+m，∴，由f'（x）=0得x=1，且0＜x＜1时，f'（x）＞0，x＞1时，f'（x）＜0．故函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．所以，函数f（x）的极大值为f（1）=m﹣1，无极小值．（2）由g（x）=f（x+m）=ln（x+m）﹣x，∵x1，x2为函数g（x）是两个零点，∴，即，令h（x）=ex﹣x，则h（x）=m有两解x1，x2．令h'（x）=ex﹣1=0得x=0，∴﹣m＜x＜0时，h′（x）＜0，当x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣m，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．∵h（x）=m的两解x1，x2分别在区间（﹣m，0）和（0，+∞）上，不妨设x1＜0＜x2，要证x1+x2＜0，考虑到h（x）在（0，+∞）上递增，只需证h（x2）＜h（﹣x1），由h（x2）=h（x1）知，只需证h（x1）＜h（﹣x1），令r（x）=h（x）﹣h（﹣x）=ex﹣2x﹣e﹣x，则r′（x）=ex+﹣2≥0，∴r（x）单调递增，∵x1＜0，∴r（x1）＜r（0）=0，即h（x1）＜h（﹣x1）成立，即x1+x2＜0成立．20.如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．

（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

参考答案：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD

∴BD⊥平面APC，平面PAC，∴BD⊥FG

…………4分

（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD，

…………5分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG//平面PBD．

…………8分

（III）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，

…………10分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角

………12分

连结EH，则

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

…………4分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

…Ks5u……7分

故当时，FG//平面PBD

…………8分

设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一个法向量

设所成的角为0，

则

即

…………12分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

…………14分

21.甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是现3人各投篮1次，求：

（Ⅰ）现有3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；

（Ⅱ）用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.参考答案：解析：（I）记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投蓝1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.则

∴3人都没有投进的概率为.

（II）解法一：随机变量ξ的可能值有0，1，2，3.则Eξ=np=3×=.

解法二：ξ的概率分布为ξ0123P

Eξ=0×+1×+2×+3×=.22.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PB，PC是⊙O的割线，它们与⊙O分别交于B，D和C，E，延长CD交PA于M，∠MPC=∠MDP．（Ⅰ）求证：AP∥BE；（Ⅱ）求证：M是AP的中点．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由已知题意可得△PMD∽△CMP，