迭代法的收敛性与稳定性课件

迭代法的收敛性与稳定性ppt课件1迭代法的收敛性与稳定性ppt课件2插值法主讲教师：刘春凤线性方程组的迭代解法第六章插值法主讲教师：刘春凤线性方程组的迭代解法第六章3五、迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性五、迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理关于解4迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理常用结论设为阶方阵的特征值，的谱半径定义为：的谱定义为：事实上：对的及特征向量由的任意性：当对称时，矩阵的谱半径由的任意性迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理常5迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理设线性方程组其中为非奇异矩阵，记为精确解，且设有等价的方程组于是设有解的一阶定常迭代法迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理设6迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理有意义的问题是：迭代矩阵

满足什么条件时，由迭代法产生的向量序列

收敛到

.误差向量的递推公式引进误差向量由(3.3)式减(3.2)得到

研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究迭代矩阵满足什么条件时，有迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理7迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理定义设有矩阵序列及，如果个数列极限存在且有，则称收敛于记为

其中||·||为矩阵的任意一种算子范数.都有定理1定理2迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理定8迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理例3设有矩阵序列

，其中而且设，考查矩阵序列极限.解析显然,当时,则有迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理例9迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理设，则（零矩阵）的充要条件：证明必要性充分性若，则对必存在一种范数，使得而，于是定理3即迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理设10迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理证明迭代法基本原理设有方程组及一阶定常迭代法对任意选取初始向量，迭代法收敛的充要条件是定理4迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理证11迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理定理3和定理4的结论和起来即为(1)迭代法收敛(2)迭代法收敛推论设，其中为非奇异矩阵且为非奇异矩阵则有(1)Jacobi迭代法收敛，其中(2)G-S迭代法收敛，其中(3)SOR迭代法收敛，其中迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理12迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理例4考察用Jacobi方法解方程组的收敛性.解析因为方程组的矩阵

及迭代矩阵为得迭代矩阵

的特征方程为解得迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理例13迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理例4考察用Jacobi方法解方程组的收敛性.解析解得即所以用Jacobi方法解方程组是收敛的.迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理例14迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理例5解析考察用迭代法解方程组的收敛性.其中方程组的迭代矩阵B的特征方程为这说明用迭代法解此方程组不收敛.矩阵B的特征值为，即迭代法的基本定理在理论上是重要的，根据谱半径的性质，下面利用矩阵的范数建立判别迭代法收敛的充分条件.迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理例15迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理(迭代法收敛的充分条件)定理5及一阶定常迭代法设有方程组如果有

的某种算子范数，则迭代法收敛，即对任取有且迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理(16迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理证明(1)由基本定理4结论(1)是显然的.(2)显然有关系式及反复利用(b)即得(2).于是有(3)考查即得迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理证17迭代法的收敛性与稳定性

一阶定常迭代法的基本定理证明

(4)利用(3)的结果反复利用(a)，则得到(4).即迭代法的收敛性与稳定性一阶定常迭代法的基本定理证18迭代法的收敛性与稳定性

关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性在科学及工程计算中，要求解方程组，其矩阵常常具有某些特性.例如，具有对角占优性质或

为不可约阵，或

是对称正定阵，下面讨论用基本迭代法解这些方程组的收敛性.定义(1)如果A的元素满足称A为严格(按行)对角占优阵.对角占优阵设

(2)如果A的元素满足且上式至少有一个不等式成立，称A为弱(按行)对角占优阵.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法19迭代法的收敛性与稳定性

关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性定义可约与不可约矩阵设，如果存在置换阵P使其中为

阶方阵，为

阶方阵，则称

为可约矩阵.否则，如果不存在这样置换阵

使上式成立，则称

为不可约矩阵.为可约矩阵意即

可经过若干行列重排化为上式或

可化为两个低阶方程组求解(如果

经过两行交换的同时进行相应两列的交换，称对

进行一次行列重排).迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法20迭代法的收敛性与稳定性

关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性事实上，由

可化为，且记其中为维向量。于是，求解

化为求解由上式第2个方程组求出

,再代入第1个方程组求出

.显然，如果所有元素都非零，则

为不可约阵.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法21

(对角占优定理)

如果A=(aij)n×n为严格对角占优矩阵或A为不可约弱对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性定理6证明只就A为严格对角占优矩阵证明此定理.采用反证法，如果det(A)=0，则Ax=0有非零解，记为，则由齐次方程组第k个方程则有即这与假设矛盾，故det(A)≠0.(对角占优定理)22迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性设方程组Ax=b，如果

(1)A为严格对角占优阵，则解Ax=b的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel

迭代法均收敛.

(2)A为弱对角占优阵，且A为不可约矩阵,则解Ax=b的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法均收敛.定理7证明只证(1)，(2)作为练习因为A是严格对角占优阵，所以Jacobi迭代阵则||J||

<1，所以Jacobi迭代法收敛.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性设方23迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性下面证明Gauss—Seidel

迭代法收敛.下面证明|

|<1.若不然,即|

|1,则由于所以由，得迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性24迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性即矩阵是严格对角占优矩阵，故可逆，这与(*)式矛盾，所以|

|<1,从而(G)<1，即Gauss—Seidel迭代法收敛.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性即矩25迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性若A为正定矩阵，则方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛.则内积从而

因为A正定，所以D正定，故定理证明因为，设

为G

的特征值，y为对应的特征(复)向量，即迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性26迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性所以|

|<1,从而

(G)<1,故Gauss-Seidel迭代法收敛.下面研究对于解方程组Ax=b的SOR方法中松弛因子ω在什么范围内取值，SOR方法才可能收敛.令，则由复向量内积的性质有迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性所以27迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性

(SOR方法收敛的必要条件)

设解方程组Ax=b的SOR迭代法收敛，则0<

<2.定理8证明由于SOR迭代法收敛，则

设迭代矩阵L

的特征值为

i(i=1,

,n)，则有于是所以|1-

|<1，即

0<

<2.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性28迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性定理8说明解Ax=b的SOR迭代法，只有在(0,2)范围内取松弛因子

，才可能收敛.

(SOR方法收敛的充分条件)

设有方程组Ax=b，如果：

(2)0<

<2.则解方程组Ax=b的SOR迭代法收敛.在上述假定下，设迭代矩阵L

的任一特征值为

，只要证明|

|<1即可.定理9

(1)A为对称正定矩阵，;证明事实上，设y为对应

的Lω的特征向量，即迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性定29亦即有内积则

因为A正定，所以D正定，记迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性令，则由复向量内积的性质有亦即有内积则因为A正定，所以D正定，记迭代法的收敛性与稳定30当0<

<2时，有(分子减分母)即L

的任一特征值满足|

|<1,故SOR迭代法收敛.迭代法的收敛性与稳定性关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性因为当0<<2时，有(分子减分母)即L的任一特征值满足||31及一阶定常迭代法迭代法的收敛性与稳定性迭代法的收敛速度则且设迭代法收敛，即对任取，记

由定理3证明中可知，如果且越小时，迭代法收敛越快.现设有方程组由基本定理有，且误差向量满足及一阶定常迭代法迭代法的收敛性与稳定性迭代法的收敛速度则且设32迭代法的收敛性与稳定性迭代法的收敛速度故现设B为对称矩阵，则有下面确定使初始误差缩小

所需的迭代次数,即使取对数，得到所需最少迭代次数为此式说明，满足精度所需迭代次数与成反比，当越小，越大，则满足所需迭代次数越少，即迭代法收敛越快.迭代法的收敛性与稳定性迭代法的收敛速度故现设B为对称矩阵33迭代法的收敛性与稳定性迭代法的收敛速度

称为迭代法的渐近收敛速度，简称迭代法收敛速度.定义5对于SOR迭代法希望选择松弛因子

使迭代过程收敛较快，在理论上即确定最佳因子

opt使

对某些特殊类型的矩阵，建立了SOR方法最佳因子理论.