南昌大学概率论边缘分布课件

小结联合分布函数离散型连续型——联合分布列——联合概率密度X与Y的联合分布非负性规范性1小结联合离散型——联合分布列X与Y的联合分布题某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到的次品件数,试求(X,Y)的分布律．(X,Y)的所有取值为(i,j),i,j=0,1由乘法公式有解XY01012题某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽

二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.§3.2边缘分布3二维联合分布全面地反映了二维随机变量这一节二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于

X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机一、边缘分布函数说明,已知联合分布函数,可以确定边缘分布函数.4二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而边缘分布的几何意义：FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率；

FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。OxxOxyyy5边缘分布的几何意义：FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落解(X,Y)关于X的边缘分布函数

6解(X,Y)关于X的边缘分布函数6二、二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为:P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)则:P{X=xi}=P{X=xi,Y<+

}=pi·7二、二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随同理:分别称pi·(i=1,2,…)和p·j(j=1,2,…)为X和Y的边缘分布律

另有:=p·jFY(y)=F(+

,y)FX(x)=F(x,+

)点·

表示pij对于该点所在位置的变量求和8同理:分别称pi·(i=1,2,…)和99例1设(X,Y)的分布律如下:YX012011/41/61/81/41/81/12

求X和Y的边缘分布律10例1设(X,Y)的分布律如下:YX0解:X的边缘分布律:,i=0,i=1,i=2,j=0,j=1Y的边缘分布律:pi·=p·j=11解:X的边缘分布律:,i=0,i=1,i或直接在表格上:YX012p·j011/41/61/81/41/81/12pi·1/27/245/2413/2411/2412或直接在表格上:YX012FX(

x

)=F(x,+

)X和Y的联合分布函数为F(x,y

),则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为三、连续型二维随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于Y的边缘概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为13FX(x)=F(x,+)X和Y的联合分布函例2设随机变量(X,Y)的概率密度为求:X和Y的边缘概率密度解:0,其它=0≤x≤114例2设随机变量(X,Y)的概率密度为求:X和Y的边缘概率=0,其它0≤y≤2

在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限.

15=0,其它0≤y≤2在求连续型随机变题

设(X,Y)的概率密度是解求边缘密度.分段函数积分应注意其表达式

yx01y

=

xy

=

x216题设(X,Y)的概率密度是解求边缘密度.分

yx-a0

a

例3

设(X,Y

)服从椭圆域上的均匀分布,求(1)

求(X,Y

)的边缘密度函数解(1)由题知(X,Y)的概率密度为同理可得(2)

(2)

,其中A为区域:X与Y不服从均匀分布二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布

yxa0

a

Gx+y=a17yx-a0

二维正态分布的边缘分布仍是正态分布例4设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为:求:X和Y的边缘概率密度

<x<+

,

<y<+

,18二维正态分布的边缘分布仍是正态例4解:令,得:19解:令,得:19同理,得:可见,(X,Y)～N(

1,

2,

12,

22,

)

X~N(

1,

12),Y~N(

2,

22)20同理,得:可见,(X,Y)～N(1,2,12,22

说明对于确定的

1,

2,

1,

2,当

不同时，对应了不同的二维正态分布。对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.

(X1,X2)∼N(

1,

2,,

)

X1∼X2∼(与参数

无关)21说明对于确定的1,2,1,2,当不同时，对应了例5若二维随机变量(X,Y)的概率密度为求边缘密度函数

解同理～～二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真22例5若二维随机变量(X,Y)的概率密度为求边缘密度函数