基于gamma分布的多重分形小波模型

基于gamma分布的多重分形小波模型

1对多重分形特性的模拟1994年，le爵等人通过在etheret网络环境中的通信测量证明，现代数据通信业务中存在明显的相似性现象。Feldmann等人进一步的研究表明,虽然自相似特性从一定程度上描述了网络通信流的复杂性,但实际网络通信流并不是严格自相似的。因此仅仅用单一的Hurst参数来描述网络流量的全部特性是不够的多重分形特性对网络性能也有较大的影响,因此,对于有明显多重分形特征的通信流建立多重分形模型具有重要意义。近年来,许多学者针对网络通信流的多重分形特性,提出了多重分形模型本文则是以普通的MWM2网络流量特征的分析网络流量的特性之所以复杂,是因为其不仅在大时间尺度上表现出自相似和长相关特性,同时在小时间尺度上又表现出多重分形特性。2.1渐进二阶自相似随机过程的条件考察一个广义平稳过程X={X自相关函数记为:如果X={X由于二阶自相似随机过程的定义十分严格,通常实际中具有自相似的随机过程都不是严格的二阶自相似随机过程,而属于渐进二阶自相似随机过程。如果满足下面的条件:就称其为渐进二阶自相似随机过程。其中HÎ(0.5,1),称为Hurst参数,它表征相似性的强弱。H值越大,经过时间平均后的随机过程的方差减小速度越慢,业务流的相关性也就越强。估计H的方法很多,有方差-时间图、R/S图、Whittle方法等。2.2扩大的单分形如前所述,在较大的时间尺度上,一般认为网络流量是渐进自相似的,但是在小的时间尺度上有所不同。为了量化在给定时刻网络流量的局部变化强弱,引入局部时间尺度的概念直观上说,α(t)将单分形的分形指数(Hurst参数)扩展到多值,这样需要了解α(t)取不同值的概率大小,才能了解流量的特征。用函数f(α)表示Holder指数为α的出现的频率(概率)。f(α)被称为多重分形频谱。从前面的介绍可以发现,单分形可以看作多重分形的特殊情况。如果对任意时刻Holder指数为常数H(Hurst参数),则简化为单分形。多重分形的构造过程可以用层叠模型来描述,如图1所示。对于一个分布于[0,1]区间上的集合I3在gama分布的基础上建立了一系列波形小波模型3.1随机信号函数多重分形小波模型是基于Haar小波变换的,Haar小波的母函数和尺度函数分别定义为:其中j是伸缩函数,k是位移函数,而且令U其中f(t)是随机信号,在文中指网络业务流。很明显,尺度系数与小波系数之间存在如下关系:MWM模型的核心思想就是用一个乘子A乘子AMWM模型的建模过程就可以描述为:首先得到最“粗”的尺度系数U3.2在gama分布的基础上建立了一系列波形小波模型由3.1节介绍可知,对模型具有决定性影响的就是最“粗”的尺度系数“U3.2.1源流的尺度系数对于Haar小波而言,尺度系数等价于视频流在某个尺度上的均值,因此考察最“粗”尺度的尺度系数的概率分布特性。选择电影StarWars的一个片段本文描述的数据通信业务流都是指GOP序列。对StarWars的GOP序列数据作Haar小波变换,分解到第3级,得到其第0级的最“粗”的尺度系数。普通的MWM对于最“粗”的尺度系数是采用正态分布进行建模的。计算尺度系数的经验概率分布函数,比较正态分布和Gamma分布分别拟合的结果,所得结果如图2所示。由图2可见,相比较正态分布,Gamma分布能够更好地拟合源数据流的“粗”尺度系数分布,尤其很好地拟合了尺度系数的边缘分布。因此采用Gamma模型对最粗的尺度系数U最简单的Gamma模型为GAR(1)模型,定义为:其中ε由矩估计法,得出:由式(16),可知:所以Gamma分布的双参数估计值为:参数ρ可由最小二乘法求出:这样,就完成了对最“粗”的尺度系数U3.2.2尺度系数是非负的电为了确保输出的结果是非负的,只要所有时间尺度的尺度系数是非负的就可以了。由式(14)可知,只要将A本文采用[-1,1]区间的Beta分布对乘子A其中B(·,·)为β函数。P3.2.3最粗时间尺度尺度系数的生成称本文的模型为GammaMWM,其具体的建模步骤如下:(1)确定最“粗”的时间尺度,进行Haar小波变换,运用GAR(1)模型产生最“粗”时间尺度的尺度系数。(2)用[-1,1]上的Beta分布产生第j级的乘子A(3)如果已得到最“细”的尺度,则停止。输出最“细”的尺度系数。否则令j=j+1,转步骤(2)。4gamam模型特性检验实验数据源与3.2.1节相同。首先分别由MWM模型和GammaMWM模型产生仿真通信业务流,然后与源数据流比较,分别检验本文提出的GammaMWM模型的概率分布特性、自相似特性以及多重分形特性,并与传统的MWM模型比较,验证本文GammaMWM模型的优越性。4.1统计特性检验首先验证GammaMWM模型数据对源数据流的拟合程度。图3为模型数据与源数据流(StarWars)的概率密度分布图;表1给出了模型数据与源数据流的各项统计特性的比较。由表1的各项统计特性,整体来看,本文GammaMWM模型无论在均值还是方差上,相比较MWM,更接近源数据流的统计特性。图3中概率密度的比较,更加细节地突出了GammaMWM模型的优点。GammaMWM模型相比较MWM仿真产生的数据流能够更好地拟合源数据流的分布,特别是能够较好地拟合数据流的边缘分布。由图3中可以看出,在区间[0,50000]之间的数据,本文模型比MWM模型拟合的要好,这是因为,本文模型采用的是Gamma分布建模,而普通的MWM模型采用的是高斯分布建模,Gamma分布相比较高斯分布而言,更能很好地拟合源数据流的边缘分布。4.2自相关函数衰减特性本节验证GammaMWM模型是否能够描述业务流的自相似特性。比较模型数据与源数据流的自相关函数曲线,如图4所示。由图4可见,无论是本文GammaMWM模型还是MWM模型的数据的自相关函数都是缓慢衰减的。仔细分析又发现,随着Lag的增大(Lag=50开始),MWM模型的自相关函数衰减加快,背离了源数据流的特性。而本文GammaMWM模型的自相关函数的衰减特性始终与源数据流相近,很好地拟合了源数据流的自相似特性。表2则是计算出的各个数据流的自相关参数H。可以看出,GammaMWM模型的H参数与源数据流比较接近。由此可见,GammaMWM模型能够较好地反应源数据流的长时相关特性。4.3多重分形仿真实验下面验证本文GammaMWM模型的多重分形特性。由2.1节讨论可知,二阶自相似随机过程满足式(3),对等式两边取对数有:如果对随机过程不同集合块大小m下的方差取对数,图5则是以(lg(m),lg(Var(X下面用2.2节介绍的多重分形谱函数再次验证本文模型的多重分形特性。图6给出了源数据流和模型产生的仿真数据的多重分形谱图。由图6可以看出,源数据流中α<1的区域较大,说明源数据流含有较大的突发性。本文的模型与普通的MWM模型都体现了这种突发性。但是由图6可以看出,在α>1的阶段,本文的模型比MWM更接近源数据流的多重分形谱,能够更好地描述业务流的多重分形特性。5基于gama分布的多重分形小波模型本文以普通的