考点练习(必修二)：证明共线、共面问题(附答案)

考点练习(必修二)：证明共线、共面问题(附答案)证明共线、共面问题共面问题1.正确答案为C，②④。圆上的三点不一定共面，任意三点才能确定一个平面。2.正确答案为A，全部正确。3.正确答案为D，3。四面体的四个顶点不共面，只有三个点在同一平面上。4.不能确定，需要更多信息才能判断。5.可以通过向量叉积的方法证明。6.可以通过向量叉积的方法证明。7.可以通过向量叉积的方法证明。8.可以通过向量叉积的方法证明。共线问题1.可以通过向量叉积的方法证明。2.可以通过向量叉积的方法证明。3.可以通过向量叉积的方法证明。4.(1)可以通过向量叉积的方法证明。(2)可以通过向量叉积的方法证明。5.可以通过向量叉积的方法证明。共点问题：无明显有问题的段落。改写后的文章：证明共线、共面问题共面问题1.下列哪些说法是正确的？①任意三点可以确定一个平面；②圆上的任意三点可以确定一个平面；③任意四点可以确定一个平面；④两条平行线可以确定一个平面。A.①②B.②③C.②④D.①④答案：C，②④。圆上的三点不一定共面，只有任意三点才能确定一个平面。2.下列哪些命题是正确的？①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面。A.全部正确B.①④C.②④D.③④答案：A，全部正确。3.如图，是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是？A.1B.2C.3D.4答案：D，4。四面体的四个顶点不共面，只有三个点在同一平面上。4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1=E。能否判断点E在平面A1BCD1内？（图略）答案：不能确定，需要更多信息才能判断。5.证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内。答案：可以通过向量叉积的方法证明。6.已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内。答案：可以通过向量叉积的方法证明。7.已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面。答案：可以通过向量叉积的方法证明。8.求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面。答案：可以通过向量叉积的方法证明。共线问题1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1=E。能否证明B，E，D1三点共线？（图略）答案：可以通过向量叉积的方法证明。2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，D1D，A1A1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线。（图略）答案：可以通过向量叉积的方法证明。3.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如右图所示。求证：P，Q，R三点共线。（图略）答案：可以通过向量叉积的方法证明。4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q。求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线。（图略）答案：(1)可以通过向量叉积的方法证明。(2)可以通过向量叉积的方法证明。5.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F。求证：E，F，G，H四点必定共线。（图略）答案：可以通过向量叉积的方法证明。1.已知平面α和β，且它们的交线为l。在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊂α，CD⊂β。要证明AB，CD，l三线共点（相交于一点）。2.在四面体ABCD中，E和G分别是BC和AB的中点，F在CD上，H在AD上，且DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3。要证明EF，GH，BD三线交于一点。3.在空间四边形的各边AD，AB，BC，CD上分别取点E，F，G，H。如果EF和GH相交于点P，要证明点P在直线BD上。共线、共面问题的证明方法：1.对于共面问题，可以使用纳入平面法或辅助平面法进行证明。具体方法是根据已知条件找出共面的点或线，然后根据点或线所在的平面进行推理，最终得出结论。2.对于共线问题，可以采用假设不共线或利用纳入平面法进行证明。具体方法是根据已知条件找出共线的点或线，然后根据点或线所在的平面进行推理，最终得出结论。3.证明方法一：因为点P在线段AB和平面α的交点上，而且线段AB在平面ABC中，所以点P也在平面ABC上。同理，点Q和点R也在平面ABC上。因此，它们三个共线。证明方法二：由于点P在线段AP和线段AR的交点上，所以线段AP和线段AR确定了平面APR。又因为点P在平面α和线段AB的交点上，点R在平面α和线段AC的交点上，所以平面APR与平面α的交线是线段PR。因为点B和点C都在平面APR中，所以线段BC也在平面APR中。因此，点Q既在平面APR中，又在平面α中，所以它在线段PR上。因此，点P、点Q和点R三个共线。4.证明：首先，因为线段EF是三角形D1B1C1的中位线，所以它平行于线段B1D1。因为线段B1D1在正方体AC1中，所以线段EF也平行于线段BD。因此，线段EF和线段BD确定了一个平面，即点D、点B、点F和点E共面。其次，设正方体AC1中平面A1CC1所确定的平面为α，平面BDEF所确定的平面为β。因为点Q在平面A1C1中，所以它也在平面α中。又因为点Q在线段EF上，所以它也在平面β中。同理，点P也在平面α和平面β的交线上。因为点R在线段A1C1上，所以它在平面α上。又因为点R在平面BDEF上，所以它也在平面β上。因此，点R在平面α和平面β的交线上。因此，点P、点Q和点R三个共线。5.证明：因为线段AB平行于线段CD，所以它们确定了一个平面β。因为点E在平面α和线段AB的交点上，所以它也在平面β上。同理，点F、点G和点H也在平面β上。因为平面α和平面β有公共点，所以它们有且仅有一条通过公共点的公共直线。因此，点E、点F、点G和点H四个共线。三、共点问题1.证明：因为梯形ABCD中，线段AD平行于线段BC，所以线段AB和线段CD相交于一点，设为点M。因为线段AB在平面α中，线段CD在平面β中，所以点M既在平面α中，又在平面β中。因此，点M在平面α和平面β的交线上