九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案

九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案一、填空题：（30分）1、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝3/5，sinB＝2/3，tanB＝2/√5。2、直角三角形ABC的面积为24cm²，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝4/5。3、已知tanα＝5，α是锐角，则sinα＝5/√26。4、cos2(50°＋α)＋cos2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)的值为1/2。5、如图1，机器人从A点，沿着西南方向，行了42个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为(-21-21√3,21)。6、等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为7/3。7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面的高度为50/√10米。8、如图2，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是4米。9、在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，cosA=3，AB＝8cm，则△ABC的面积为12cm²。10、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是(a+b)/√3米。二、选择题：（30分）11、sin2θ＋sin2(90°－θ)(0°＜θ＜90°）等于（D）2。12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（B）缩小为原来的1/3。13、以原点O为圆心，以1为半径作圆。若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（D）(cosα,sinα)。14、如图4，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=3/5，则BC的长是（C）8cm。15、已知α为锐角，sina=cos50°，则α等于（B）30°。16、已知tan(a+10°)=3，求锐角a的度数。答案：C、35°17、判断下列式子中正确的是哪个。A、sin(α+β)=sinα+sinβB、cos(α+β)=1时，α+β=60°C、若α≥β时，则cosα≥cosβD、若cosα>sinβ，则α+β>90°答案：C、若α≥β时，则cosα≥cosβ18、如图5所示，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度。答案：B、28米19、如图6所示，两建筑物的水平距离为am，从A点测得D点的俯角为a，测得C点的俯角为β，求较低建筑物CD的高。答案：C、am(tanα－tanαtanβ)20、如图所示，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为33，求鱼竿转过的角度。答案：A、60°21、计算：(1)tan30°sin60°+cos230°-sin245°/tan45°=(1/√3)(√3/2)+(-cos50°)-(1/√2)=1/2-cos50°-1/√2(2)1°tan245°/tan45°+4sin230°-3cos230°+sin40°/cos50°=(1/√3)(-1/√3)+4(-1/2)-3(-√3/2)+√3/4=-1/3-2√3答案：(1)1/2-cos50°-1/√2；(2)-1/3-2√322、(1)已知：c=83，∠A=60°，求∠B、a、b。根据正弦定理，sinB=sin(180°-60°-B)=sin(120°-B)，所以sinB=sin120°cosB-cos120°sinB，化简得tanB=3/√3，所以B=60°。再根据正弦定理，a/√3=83/sin60°，化简得a=83√3/2。最后根据勾股定理，b=√(a²-c²)=√(83²-(83√3/2)²)=83/2。所以，∠B=60°，a=83√3/2，b=83/2。(2)已知：a=36，∠A=30°，求∠B、b、c。根据正弦定理，b/√3=2a/sin60°，化简得b=72/√3。再根据勾股定理，c=√(a²+b²)=√(36²+(72/√3)²)=√(36²×4/3+72²)=72。最后根据余弦定理，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=3/4，所以B=41.41°。所以，∠B=41.41°，b=72/√3，c=72。答案：(1)∠B=60°，a=83√3/2，b=83/2；(2)∠B=41.41°，b=72/√3，c=72。23、如图所示，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高。根据三角函数定义，tan10°=AB/CD，所以AB=CDtan10°。又根据三角函数定义，tan15°=BD/AD，所以BD=ADtan15°。又因为AD=CD-50，所以BD=(CD-50)tan15°。又因为BD=ABtan15°，所以(CD-50)tan15°=CDtan10°。化简得CD=50/tan5°≈547.72m，所以AB=CDtan10°≈100.76m。最后，树AB的高为ABtan15°≈25.86m。答案：25.9m24、已知Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，sinA、sinB是方程m(x²-2x)+5(x²+x)+12=0的两根。(1)由于sinA=BC/AB，sinB=AC/AB，所以BC/AC=sinA/sinB。又因为BC²+AC²=AB²，所以BC²+(BC/sinB)²=100，化简得BC²+BC²cos²B=100sin²B，化简得BC²(1+cos²B)=100sin²B，所以BC/AC=sinA/sinB=√(1-cos²B)/cosB。代入方程得m(cos²B-2cosB)+5(cos²B+cosB)+12=0，化简得mcos²B+3mcosB+17m+12=0。由于sinB是方程的根，所以cosB=√(1-sin²B)，代入方程得msin²B-3msinB+17m+12=0。因为sinA、sinB是方程的两根，所以sinA+sinB=1/2m，sinA×sinB=5/2m。代入得2sinA=1/2m-sinB，代入sin²A+sin²B=1得cosAcosB=3/4m²-5/4m+1/2。由于Rt△ABC的内切圆的半径r=AB+AC-BC=AB+BC-2BCsinB=10+BC(1-2sinB)，所以r²=(10+BC(1-2sinB))²=100+20BC(1-2sinB)+BC²(1-2sinB)²。又因为cosAcosB=5/8-3/8cos2A，所以cos2A=(2cosA)²-1=2cos²A-1=10/16-3/8cosAcosB=5/16-3/16(3/4m²-5/4m+1/2)=1/16m²-3/16m+1/4。又因为sin²A+cos²A=1，所以sin²A=1-cos²A=3/4-m²/16+3m/8-1/4=1/4-m²/16+3m/8。代入sinA×sinB=5/2m得sinB=5/2m/sinA-5/2，代入cosB=√(1-sin²B)得cosB=1/2√(m²-20m+100)。代入得m(1/4-m²/16+3m/8)-3m(5/2m/sinA-5/2)+17m+12=0，化简得3m³-80m²+96m+128=0，因为sinA、sinB是方程的两根，所以1/2m=sinA+sinB=√(1-cos²A)+√(1-cos²B)。代入cosAcosB=3/4m²-5/4m+1/2，化简得cosA+cosB=√(1-cos²A)√(1-cos²B)，代入cosA+cosB=AB/AC+AC/AB=BC/AC+AC/BC=1/sinB+1/sinA，化简得1/sinA+1/sinB=2/√(1-cos²A)√(1-cos²B)。代入sinA×sinB=5/2m，化简得sinA+sinB=5/4m/√(1-cos²A)√(1-cos²B)。代入1/2m=sinA+sinB，化简得m=10/√(1-cos²A)√(1-cos²B)。化简得cos²A+cos²B=1-2/√(1-cos²A)√(1-cos²B)。代入cosAcosB=3/4m²-5/4m+1/2，化简得3/4m²-5/4m+1/2+2/√(1-cos²A)√(1-cos²B)=1。代入m=10/√(1-cos²A)√(1-cos²B)，化简得cos²A+cos²B=4/5。(2)根据正弦定理，sinA=36/10sinB，代入sinA×sinB=5/2m得sinB=10/3m，代入cos²A+cos²B=4/5得cos²A=1-4/5cos²B=1-4/5(1-sin²B)=4/5sin²B+1/5。根据勾股定理，cosA=√(1-sin²A)=√(1-1296/100sin²B)，代入cosAcosB=3/4m²-5/4m+1/2得cosB=√(3/4m²-5/4m+1/2)/√(1-1296/100sin²B)。代入sinA×sinB=5/2m得sinB=10/3m，代入cosAcosB=3/4m²-5/4m+1/2得cosA=3/4m/√(1-100/9m²)。根据勾股定理，c=√(a²+b²)=√(36²+10²sin²B)=√(1296+100m²/9)。根据海伦公式，s=(a+b+c)/2=36+5m/3√(1296+100m²/9)。根据面积公式，S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√((s-a)(s-b)(s-c)×s)=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=√((5m/3√(1296+100m²/9))(5m/3√(1296+100m²/9)-36)(5m/3√(1296+100m²/9)-10/3m)(5m/3√(1296+100m²/9)-√(1296+100m²/9)))=√(25m⁴/27-200m²/9+32400/81m²-2500m²/27+200m²/3-40000/81m²+10000m²/81-2000m²/9+1296+100m²/9)=√(4m⁴/27-100m²/9+1296/81m²+10000/81)=√(4m⁴-900m²+1296)/81=√((2m²-27)²)/9=(2m²-27)/3。所以，m=8，cosA=√(1-1296/100sin²B)≈0.6，cosB=√(3/4m²-5/4m+1/2)/√(1-1296/100sin²B)≈0.8，c=√(a²+b²)≈38.63，S=√((2m²-27)²)/3≈6.12。答案：(1)m=8，S=√((2m²-27)²)/3≈6.12；(2)cosA≈0.6，cosB≈0.8，c≈38.63。25、如图所示，△ABC是等腰三角形作DE⊥AB，垂足为E，连结CE，求sin∠ACE的值。为了缓解“停车难”问题，某单位计划建造地下停车库，并提供了该地下停车库的设计示意图。根据规定，地下停车库坡道口上方必须张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入。在图中，AB=9m，BC=0.5m。要标明限高，需要计算